高中数学第一章导数及其应用1.1.2导数的概念教案新人教A版选修2.doc.docxVIP

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高中数学第一章导数及其应用1.1.2导数的概念教案新人教A版选修2.doc

一、导数的概念引入

(1)在学习数学的过程中，我们常常会遇到许多问题，比如如何描述一个函数在某一点上的变化率，以及如何研究函数在某一点附近的局部性质。为了解决这些问题，数学家们引入了导数的概念。导数是微积分学中的一个基本概念，它能够帮助我们准确地描述函数在某一点的变化趋势。

(2)导数的概念最早可以追溯到17世纪的牛顿和莱布尼茨。他们发现，通过求函数在某一点的导数，可以计算出曲线在该点处的切线斜率，从而更好地理解函数的局部行为。导数的引入不仅使得我们可以精确地描述函数的瞬时变化，而且在物理学、工程学、经济学等多个领域都有着广泛的应用。

(3)为了引入导数的概念，我们可以通过一个简单的例子来说明。假设有一个物体在直线轨道上运动，我们需要知道物体在某一时刻的瞬时速度。通过在物体运动过程中选取一个非常短的时间间隔，我们可以计算出在这一时间段内物体的平均速度，并以此来近似表示物体在这一时刻的瞬时速度。随着时间间隔的无限缩小，这个平均速度的极限值即为物体的瞬时速度，而这个极限值也就是我们所说的导数。

二、导数的定义

(1)导数的定义是微积分学的核心内容之一。它描述了一个函数在某一点的瞬时变化率。以函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处的导数\(f(x_0)\)为例，当自变量\(x\)在\(x_0\)附近发生微小的变化\(\Deltax\)时，函数值的变化\(\Deltay\)可以表示为\(\Deltay=f(x_0+\Deltax)-f(x_0)\)。根据导数的定义，导数\(f(x_0)\)是当\(\Deltax\)趋向于0时，\(\frac{\Deltay}{\Deltax}\)的极限值。

(2)举例来说，考虑函数\(f(x)=x^2\)。我们需要求函数在\(x=2\)处的导数。根据导数的定义，我们有\(f(2)=\lim_{{\Deltax}\to0}\frac{(2+\Deltax)^2-2^2}{\Deltax}\)。通过展开和简化，我们可以得到\(f(2)=\lim_{{\Deltax}\to0}\frac{4+4\Deltax+(\Deltax)^2-4}{\Deltax}=\lim_{{\Deltax}\to0}(4+4\Deltax+\Deltax)=4\)。这意味着函数\(f(x)=x^2\)在\(x=2\)处的瞬时变化率是4。

(3)在实际问题中，导数的定义也有其应用。例如，在物理学中，速度可以看作是位移随时间的变化率。假设一辆汽车从静止开始加速，经过一段时间\(t\)后，位移\(s\)与时间\(t\)的关系可以表示为\(s(t)=\frac{1}{2}at^2\)，其中\(a\)是加速度。要找到汽车在某一时刻\(t_0\)的瞬时速度，我们需要求\(s(t)\)在\(t_0\)处的导数，即\(v(t_0)=\frac{ds}{dt}\bigg|_{t=t_0}=at_0\)。这个导数给出了在时刻\(t_0\)汽车的瞬时速度。

三、导数的几何意义

(1)导数的几何意义是导数概念在几何学中的应用，它揭示了导数与函数图像的密切关系。在几何上，导数可以理解为曲线在某一点的切线斜率。以函数\(f(x)\)的图像为例，当我们在曲线上取一个点\((x_0,f(x_0))\)时，曲线在该点的切线斜率就是导数\(f(x_0)\)。这个斜率代表了曲线在该点附近的变化趋势，即曲线上升或下降的速度。

(2)导数的几何意义在解决实际问题中具有重要意义。例如，在物理学中，当我们研究一个物体在曲线轨道上运动时，可以通过求出轨道曲线在某一点的导数，来得到物体在该点的速度方向和大小。此外，在经济学中，导数可以用来分析市场需求曲线的斜率，从而了解消费者对商品价格变化的敏感程度。

(3)导数的几何意义还可以帮助我们更好地理解函数图像的形状。例如，考虑函数\(f(x)=x^3\)的图像。通过计算导数\(f(x)=3x^2\)，我们可以得知在\(x=0\)处，曲线的切线斜率为0，这意味着曲线在该点处有一个拐点。同样地，当\(x0\)或\(x0\)时，导数的符号可以告诉我们曲线在相应区间内的凹凸性。这些信息有助于我们绘制出函数的精确图像，并分析函数在不同区间内的性质。