高中数学导数的概念—瞬时速度教案2 新人教A版选修1-1.docxVIP

PAGE

1-

高中数学导数的概念—瞬时速度教案2新人教A版选修1-1

一、导数概念的引入

在高中数学的学习过程中，导数的概念是连接微积分与函数图像、物理运动等领域的桥梁。为了引入导数的概念，我们可以从函数的图像入手。考虑一个简单的函数y=x2，这个函数在直角坐标系中呈现一条抛物线。我们注意到，当x值发生变化时，y值也随之变化。例如，当x从1增加到2时，y值从1增加到4，这表明函数值随着自变量的变化而变化。

为了量化这种变化，我们可以计算函数在两个不同点的平均变化率。以x=1和x=2为例，平均变化率可以通过计算增量Δy除以增量Δx来得到。在这个例子中，Δy=(4-1)=3，Δx=(2-1)=1，因此平均变化率为Δy/Δx=3/1=3。这个平均变化率反映了函数在x=1到x=2这一区间内的平均变化速度。

然而，如果我们想要了解函数在某一特定点的变化速度，即瞬时变化率，就需要采取不同的方法。瞬时变化率描述了函数在某一点处的局部变化速度。为了得到瞬时变化率，我们可以考虑一个极小的增量Δx，这个增量足够小以至于可以近似看作无穷小。在极限的思想下，当Δx趋近于0时，平均变化率将趋近于一个确定的值，这个值就是瞬时变化率。

为了具体计算瞬时变化率，我们可以将Δy/Δx的比值用极限的形式表示。以函数y=x2为例，我们考虑x趋近于某一固定值a时，y=x2的变化情况。此时，平均变化率的极限表达式为：

\[\lim_{{\Deltax\to0}}\frac{{(a+\Deltax)^2-a^2}}{{\Deltax}}\]

通过展开平方项和简化表达式，我们可以得到：

\[\lim_{{\Deltax\to0}}\frac{{a^2+2a\Deltax+(\Deltax)^2-a^2}}{{\Deltax}}\]

\[\lim_{{\Deltax\to0}}\frac{{2a\Deltax+(\Deltax)^2}}{{\Deltax}}\]

\[\lim_{{\Deltax\to0}}(2a+\Deltax)\]

由于Δx趋近于0，上述表达式中的Δx项将消失，我们得到：

\[\lim_{{\Deltax\to0}}(2a+\Deltax)=2a\]

因此，函数y=x2在点x=a处的瞬时变化率是2a。这个结果可以推广到任意的二次函数，从而揭示了导数在描述函数变化趋势方面的强大能力。通过引入导数的概念，我们能够深入理解函数在某一点处的局部性质，为后续的微积分学习打下坚实的基础。

二、平均变化率与瞬时变化率

(1)平均变化率是描述函数在某区间内整体变化快慢的一个度量。以函数y=2x为例，当x从1增加到2时，函数值从2增加到4，Δy=4-2=2，Δx=2-1=1，因此平均变化率为Δy/Δx=2/1=2。这意味着在x=1到x=2的区间内，函数值每增加1，自变量也相应增加1。在另一个例子中，考虑函数y=x2，当x从2增加到3时，函数值从4增加到9，Δy=9-4=5，Δx=3-2=1，平均变化率为Δy/Δx=5/1=5。这表明在x=2到x=3的区间内，函数值增加得更快。

(2)瞬时变化率则专注于函数在某一点的局部变化速度。以函数y=3x为例，我们计算在x=4时的瞬时变化率。首先，我们选择两个非常接近的x值，比如x=4和x=4.001，对应的y值分别是y=12和y=12.003。Δy=12.003-12=0.003，Δx=4.001-4=0.001，平均变化率为Δy/Δx=0.003/0.001=3。接着，我们计算当Δx趋近于0时的极限，即：

\[\lim_{{\Deltax\to0}}\frac{{3(4+\Deltax)-3\cdot4}}{{\Deltax}}\]

通过计算，我们得到瞬时变化率为3。这个结果表明，在x=4这一点，函数的变化速度是恒定的，即每增加1个单位，y值也增加3个单位。

(3)平均变化率和瞬时变化率之间的关系是微积分的核心概念之一。当Δx足够小，即Δx趋近于0时，平均变化率将趋近于瞬时变化率。例如，对于函数y=x2，我们可以通过计算Δx趋近于0时的极限来得到在x=2的瞬时变化率。这个过程涉及到极限的概念，是微积分中的基本技巧。通过理解这一过程，我们可以更深入地理解函数在特定点的局部行为，这对于解决实际问题，如物理学中的速度计算，具有极其重要的意义。

三、导数的定义与性质

(1)导数的定义是微积分学中的基础概念。它描述了函数在某一点的局部变化率。设函数y=f(x)在点x=a处可导，则导数f(a)定义为：

\[f(a)=\lim_{{\Deltax\to0}}\frac{{f(a+\Deltax)-f(a)}}{{\Deltax}}\]

这个极限表达了函数在点a的瞬时变化率。如果这个极限存在，我们就说函数在点a可导，并且这个极限