gzsx1002《二倍角的三角函数2》自主学习任务单 (1).docVIP

《二倍角的三角函数2》自主学习任务单

一、学习目标：

1.进一步熟练掌握二倍角公式的特征及正用、逆用；

2.掌握二倍角公式的变形即降幂公式的特征；

3.会用二倍角公式进行三角函数的一些简单的恒等变换；

4.结合三角函数值域求函数值域问题。

二、学习过程：

（一）复习引入

回忆二倍角公式：

＝；

＝＝＝；

＝.

（二）问题导学

（1）计算，；

【分析】学生会用两角和差拆角求上述两个角的函数值；追问：还有其它解法吗？

（2）如何用表示的值？

（三）建构教学

①sin2α＝

②cos2α＝

③tan2α＝

这组公式可将二次降为一次，故又称为“降幂公式”，这是一组非常有用的三角公式，对于我们进行三角函数式的化简、求值以及三角恒等式变换有很大的帮助．

（四）数学应用

【例1】化简cos2(θ＋15°)＋cos2(θ－15°)－eq\f(\r(3),2)cos2θ.

【分析】此式中出现了θ＋15°，θ－15°与2θ，要达到角的统一，需将角θ＋15°，θ－15°向角2θ进行转化，因此，可考虑降幂公式．

【总结】应用降幂公式可将“二次式”转化为“一次式”；三角函数式的化简，一般从减少角的种类、减少函数的种类、改变函数运算的结构入手，常采用化弦法、化切法、异角化同角、异次化同次、异名化同名等方法，达到化简的目的．

【例2】求证sin50°(1＋eq\r(3)tan10°)=1.

【分析】①本题含有弦与切，当弦与切同时存在的时候，一般会统一（弦化切，或切化弦）；②在化简时，系数经常会渗透辅助角公式的应用；③二次三角函数渗透二倍角逆过程的应用。

思考：你还有其他解法吗？

【总结】在三角函数式的求值、化简与恒等变形中，辅助角公式起着重要作用。

【例3】求函数的值域.

【分析】当三角函数角度不统一的时候，要统一角度，要么升角要么降角。

【总结】本题最终可通过二倍角公式统一角度转化为二次函数求函数值域问题。

【例4】如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为eq\f(π,3)的扇形，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

图1

【分析】要求当角α取何值时，矩形ABCD的面积S最大，可分两步进行：

(1)找出S与α之间的函数关系；

(2)由得出的函数关系，求S的最大值．

【总结】可以看到，通过三角变换，我们把形如y＝asinx＋bcosx的函数转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．

（五）反思总结

本节课你学会了哪些内容？

三、效果检测：

T1、完成课本上122-123页练习1-4题.

T2、求的值域.

T3、求下列函数最大值和最小值：

①；

②；

③.

附：二倍角的三角函数（课本教材）

二倍角的三角函数2参考答案

【例1】解cos2(θ＋15°)＋cos2(θ－15°)－eq\f(\r(3),2)cos2θ

＝eq\f(1＋cos[2?θ＋15°?],2)＋eq\f(1＋cos[2?θ－15°?],2)－eq\f(\r(3),2)cos2θ

＝1＋eq\f(1,2)[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]－eq\f(\r(3),2)cos2θ

＝1＋eq\f(1,2)(cos2θcos30°－sin2θsin30°＋cos2θcos30°＋sin2θsin30°)－eq\f(\r(3),2)cos2θ

＝1＋eq\f(1,2)×2cos2θcos30°－eq\f(\r(3),2)cos2θ

＝1＋eq\f(\r(3),2)cos2θ－eq\f(\r(3),2)cos2θ＝1.

【例2】解：原式＝sin50°(1＋eq\f(eq\r(3)sin100,cos100))

＝sin50°·eq\f(2（eq\f(1,2)cos100＋eq\f(\r(3),2)sin100）,cos100)

＝2sin50°·eq\f(sin300cos100＋cos300sin100,cos100)

＝2cos40°·eq\f(sin400,cos100)＝eq\f(sin800,co