2025年北师大版高中数学必修第二册第六章立体几何初步章末梳理.pptxVIP

第六章立体几何初步;章末梳理;知识结构理脉络;知识结构理脉络;考点整合提技能;●题型一空间几何体的结构特征、直观图

1.(1)下列说法正确的是()

A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点;【解析】(1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边互相平行，这些面所围成的几何体叫棱柱，故A错误；四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，故B正确，有两个面互相平行，其余各面都是梯形，若侧棱延长不相交于一点，则不是棱台，故C错误，D错误．;归纳提升：

1．解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断．

2．解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．

3．用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．;●题型二空间几何体的表面积与体积

2.如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．;【解析】由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：

圆台下底面、侧面和一半球面，

S半球＝8π(cm2)，S圆台侧＝35π(cm2)，S圆台底＝25π(cm2)，

故所求几何体的表面积为68πcm2.;归纳提升：

1．空间几何体的表面积求法

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体表面积注意衔接部分的处理．

(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

2．空间几何体体积问题常见类型

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．;●题型三空间中的平行关系

3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．;【解析】当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：

如图连接BD与AC交于点O，连接FO，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是BD的中点，∴OF∥PD.

又OF?平面PMD，PD?平面PMD，

∴OF∥平面PMD.;∴PF∥MA且PF＝MA，

∴四边形AFPM是平行四边形，

∴AF∥PM.

又AF?平面PMD，PM?平面PMD，

∴AF∥平面PMD.

又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC，

∴平面AFC∥平面PMD.;归纳提升：

利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．;●题型四空间中的垂直关系

4.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.;【证明】(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA?平面PAD，PA⊥AD，

所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以四边形ABED为平行四边形，

所以BE∥AD.

又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD，

所以BE∥平面PAD.;(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由(1)知PA⊥底面ABCD，

所以AP⊥CD.

又因为AP∩AD＝A，AP，AD?平面PAD，

所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点，

所以PD∥EF，所以CD⊥EF.

又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BF?平面BEF，

所以CD⊥平面BEF.

又CD?平面PCD，

所以平面BEF⊥平面PCD.;归纳提升：

垂直问题的转化

在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．;●题型五空间中的角的求法

5.如图