2025年北师大版高中数学必修第二册第三章数学建模活动第1节建筑物高度的测量、测量和自选建模作业的汇报交流.pptxVIP

第三章数学建模活动;§1建筑物高度的测量

§2测量和自选建模作业的汇报交流;必备知识探新知;素养目标定方向;课标要求;必备知识探新知;情境引入

珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，是地球上的第一高峰，位于东经86.9°，北纬27.9°.8848.86米——2020年12月8日，国家主席同尼泊尔总统互致信函，共同宣布珠穆朗玛峰必威体育精装版高程.8848.86米——这个珠峰“身高”是如何测定的，以及在此次珠峰测高过程中我国所采用的技术与方法我们可能感到不可思议，从简单处说，那就是数字的测量与解三角形的应用．;问题：测量高度是一个很传统的数学应用问题，你能举出一些例子吗？

提示：1.测量学校内的旗杆．

2．测量学校内的一座教学楼．

3．测量学校外一座看得见，但底部不可到达的建筑物．;关键能力攻重难;一、情境与问题

请观察自己学校内、外的建筑，用学过的数学知识，选择多种合适的办法，测量下面这样几个对象的高度(如图所示)．;操作建议：

(1)学生自由分组，讨论本小组的测量目标、小组成员的分工、需要准备的测量工具，如果有需要，也可以自制一些简单的测量工具．

(2)小组成员采用“头脑风暴”的形式集思广益，充分讨论，对需要测量的对象给出不同的测量方案，最好能有两套方案来测量同一个建筑物．小组成员需要事先相对精细地分工，弄清楚需要测量什么数据，测量几次，需要多少数据，如何分析和减小可能产生的测量和计算误差等.

(3)分工合作完成测量，及时记录好测量的数据．

(4)完成“测量工作报告表”的计算和报告，并利用多种形式表现小组的成果和创意．;二、试着做一做

对于高度测量的问题，我们容易想到利用三角形的知识来解决，比如测量学校内的旗杆高度，由于观测点与旗杆之间的水平距离是可以测量的，所以我们只要测量一个仰角，就可以利用直角三角形的边角关系计算出旗杆的高度．当然，如何减少误差是一个需要考虑的问题，同时在测量时需要哪些测量工具也是要事先准备好的．请大家先思考一下需要用到的测量工具有哪些．;学校外的建筑物高度测量问题，与旗杆测量问题的差异在哪里呢？由于我们在校园内测量，???测点与被测量的对象之间的水平距离不可测(比如它们之间存在不可逾越的障碍物，或者即使其之间的水平距离是可测的，但是距离较远)，我们又该如何测量其高度呢？;我们可以尝试设计不同的测量方案，要考虑这些不同方案需要测量哪些数据？其优缺点是什么？所用的(数学)原理又是什么？请你在网格区域中试着做一做，将方案填写在下表中.;三、启发与提示

通过前面的讨论我们发现，要测量的对象按照测量的情境可分为以下两类：

第一类，观测点与测量对象的水平距离可测量．

第二类，观测点与测量对象的水平距离比较远或者不可测量．显然，第一类是测量高度中最基本、最简单的情形，而第二类是测量高度中较为复杂，却是在生活实践中更为常见的情形．我们先考虑如图1所示的情形，测量物体的高度记为AB，显然AB＝BC·tan∠ACB，因此测量观测点与被测量对象之间的水平距离是测量高度的重要“桥梁”．;通过上面的分析，我们容易发现，不管是测量学校内旗杆的高度还是测量学校外建筑物的高度，从数学的角度来看，其实就是通过测量出某些量，进而计算出高度，本质上是求一条边的长度，因此，我们可以把这样一个高度测量问题归结为通过建构一个(或几个)三角形，利用解三角形的知识来解决，这种办法的核心是测量一个(或几个)“角”及一个“距离”，需要提醒大家的是“角”的测量可能会是引起较大误差的主要因素．;如果你想利用物理学中光学的有关知识，也可以采用“镜面反射”的办法来测量高度，其基本操作如下：

如图3所示，在水平地面的某点A处水平放置一面平面镜子M1(或一盆水)，观测人员在同一水平面上移动，直到能在平面镜中看到楼顶端，测量并记录此时镜子中的楼顶与观测人员之间的水平距离a1，注意此时保持镜子M1(或一盆水)位置不动，将第二面平面镜子M2(或一盆水)水平;四、简要参与解

通过以上的分析，我们给出几种测量方案及简要分析供师生参考，如下表所示：;几种不同的测量方案及简要分析;测量方案;测量方案;测量方案;测量方案;五、反思与拓展

在本节中，我们提供了几种不同的方案来测量高度，你是否还有其他的测量方案或者想法？下面是学生在实际测量旗杆高度时出现的一种做法，大家可以思考一下他的做法是否合理．

测量方案：让一个学生站在旗杆下，然后照一张含有这个人的完整照片．照片就是一个很好的比例尺，按照片中的人高与旗杆的比例，求出旗杆高度．;如图4所示，用计算机显示拍摄的照片，量出旗杆有6.3个学生的高度，这个学生的身高为1.73m，于是得到旗杆的高度约为6.3×1.73＝10.9(m)．

(1)你认为这种测量方法如何？如果认为正确，请说明理由以及这种方法的优点；如果认为有问题，请说明问题