第07讲 函数的零点问题（原卷版）.docx

第07讲函数的零点问题

【典型例题】

例1．（2024·全国·模拟预测）已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

例2．（2024·广东佛山·二模）若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是．

例3．（2024·高三·天津南开·阶段练习），若有且只有两个零点，则实数的取值范围是．

例4．（2024·内蒙古包头·一模）已知函数，若存在唯一的零点，则k的取值范围是.

例5．（2024·四川成都·三模）已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

例6．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）若函数在上没有零点，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

例7．（2024·四川成都·二模）函数，下列说法不正确的是（????）

A．当时，恒成立

B．当时，存在唯一极小值点

C．对任意在上均存在零点

D．存在在上有且只有一个零点

例8．（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)求函数的最小值；

(2)若，求函数的零点个数．

例9．（2024·全国·模拟预测）设函数.

(1)若，求函数的单调区间；

(2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）

例10．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知函数．

(1)求证：；

(2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围．

例11．（2024·高三·河南·阶段练习）已知函数.

(1)判断的单调性；

(2)当时，求函数的零点个数.

例12．（2024·广东·模拟预测）已知．

(1)讨论的单调性；

(2)若存在两个零点，证明：存在三个零点，且

(3)在（2）的条件下，证明：．

【过关测试】

一、单选题

1．（2024·高三·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）若函数存在零点，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

2．（2024·高三·河北张家口·开学考试）若是函数的一个极值点，是函数的一个零点，则（????）

A．4 B．3 C．2 D．1

3．（2024·高三·湖南·开学考试）已知函数的定义域为，若是单调函数，且有零点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

4．（2024·高三·河南·期末）若函数恰好有两个零点，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

5．（2024·高三·山东青岛·开学考试）已知函数有两个不同的零点，符号表示不超过的最大整数，如，则下列结论正确的是（????）

A．的取值范围为

B．

C．

D．若，则的取值范围为

6．（2024·高三·河南·专题练习）已知，若函数，当时，函数的零点个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

7．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知函数，函数有三个不同的零点，，，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

8．（2024·高三·全国·专题练习）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（????）

A．，

B．函数既有极大值又有极小值

C．函数有三个零点

D．过可以作三条直线与图象相切

9．（2024·高三·重庆·阶段练习）设函数，下面四个结论中正确的是（????）

A．函数在上单调递增

B．函数有且只有一个零点

C．函数的值域为

D．对任意两个不相等的正实数，若，则

10．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；

11．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

12．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

13．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

14．（2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知三次函数有三个不同的零点，函数.则（????）

A．

B．若成等差数列，则

C．若恰有两个不同的零点，则

D．若有三个不同的零点，则

15．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数有3个不同的零点,且，则（????）

A． B．的解集为

C．是曲线的切线 D．点是曲线的对称中心

16．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数，则（????）

A．当时，有极小值 B．当时，有极大值

C．若，则 D．函数的零点最多有1个

三、填空题

17．（2024·天津·一模）已知定义在上的函数满足，当时，.若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围为.

四、解答题

18．（2024·河南·一模）已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若有两