第07讲 函数模型及其应用（学生版）.docx

第07讲函数模型及其应用

（3类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2023年新I卷，第10题,5分

对数函数模型的应用

对数的运算性质的应用

由对数函数的单调性解不等式

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他函数知识点考查，需要掌握函数的图象与性质，难度中等偏下，分值为5分

【备考策略】1.会选择合适的函数类型来模拟实际问题的变化规律.

2.会比较一次函数、二次函数、幂函数、对数函数、指数函数增长速度的差异

3.了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用

【命题预测】本节内容通常考查给定实际问题选择用合适的函数解析式来模拟或求对应的实际应用值，是新高考复习的重要内容

知识讲解

1．三种函数模型的性质

函数

性质

y＝ax

(a1)

y＝logax

(a1)

y＝xn

(n0)

在(0，＋∞)上的增减性

单调递增

单调递增

单调递增

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

图象的变化

随x的增大逐渐表现为与y轴平行

随x的增大逐渐表现为与x轴平行

随n值变化而各有不同

2.常见的函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

二次函数模型

f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

反比例函数模型

f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)

指数函数模型

f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)

对数函数模型

f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)

幂函数模型

f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)

3．解函数模型问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．

(4)还原：将数学问题还原为实际问题．

以上过程用框图表示如下：

考点一、指数函数模型

1．（山东·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（????）

A．1.2天 B．1.8天

C．2.5天 D．3.5天

2．（2024·陕西安康·模拟预测）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，，若是以年为单位，则的解析式为（????）

A． B．

C． D．

3．（2024高三下·全国·专题练习）小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军，一直以来，融资难、融资贵制约着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据，建立了小微企业实际还款比例与小微企业的年收入（单位：万元）的关系为.已知小微企业的年收入为80万元时，其实际还款比例为，若银行希望实际还款比例为，则小微企业的年收入约为（参考数据：，1）（???）

A．46.49万元 B．53.56万元 C．64.43万元 D．71.12万元

1．（2024·湖南益阳·三模）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%，从第二年开始每年贬值10%．刚参加工作的小明打算买一辆约5年的二手车，价格不超过8万元．根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是万，则（????）

A．13 B．14 C．15 D．16

2．（2024·广东茂名·一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：（其中，为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现.若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的倍，那么的值为（为自然数对数的底数）（????）

A． B． C． D．

3．（2024·四川德阳·三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系．(a，b．为常数)，若该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃的保鲜时间为32小时，且该