第07讲 离散型随机变量的分布列与数字特征（教师版）.docx

第07讲离散型随机变量的分布列与数字特征

（3类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2024年新I卷，第14题,5分

求离散型随机变量的均值

均值的性质

计算古典概型问题的概率

2024年新Ⅱ卷，第18题,17分

求离散型随机变量的均值

利用对立事件的概率公式求概率

独立事件的乘法公式

2023年新I卷，第21题,12分

求离散型随机变量的均值

利用全概率公式求概率

2022年全国甲卷（理），

第19题,12分

写出简单离散型随机变量分布列

求离散型随机查量的均值

/

2021年新I卷，第18题,12分

写出简单离散型随机变量分布列

求离散型随机查量的均值

/

2021年新Ⅱ卷，第21题,12分

求离散型随机查量的均值

均值的实际应用

利用导数研究方程的根

2020年新I卷，第12题,5分

利用随机变量分布列的性质解题

对数的运算

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-12分

【备考策略】1.理解、掌握离散型随机变量的定义

2.会表示离散型随机变量的分布列

3.会计算离散型随机变量的均值和方差

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般结合离散型随机变量的分布列及均值方差在大题中考查，需重点强化复习

知识讲解

1．离散型随机变量定义

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

称为离散型随机变量X的概率分布列．

(2)离散型随机变量的分布列的性质：

①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.

3．离散型随机变量均值

(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p；

②若X～B(n，p)，则E(X)＝np.

4．离散型随机变量方差

(1)设离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根eq\r(D?X?)为随机变量X的标准差．

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．

(3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．

(4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．

考点一、离散型随机变量分布列

1．（23-24高三·阶段练习）在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3.

(1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率;

(2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列.

【答案】(1)

(2)分布列见解析

【分析】（1）先利用分步乘法计数原理计算总抽取方法，再求出抽到至少两个有标号的球的方法计算概率即可；

（2）利用离散型随机变量的分布列公式计算即可.

【详解】（1）由题意可得共有（种）不同的抽法，

抽取的四个球中，标号为1，2，或1，3的种数有，

标号为2，3的种数有，抽到1,2,3的种数有，

合计（种）不同的抽法，

所以抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率为.

（2）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4.

，

，

，

，

所以的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

2．（2024高三·全国·专题练习）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．

(1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；

(2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列．

【答案】(1)

(2)分布列见解析

【分析】（1）首先计算出所有