第10讲 圆锥曲线的弦长问题万能公式（硬解定理）（高阶拓展、竞赛适用）（教师版）.docx

圆锥曲线的弦长问题万能公式（硬解定理）（高阶拓展、竞赛适用）

（3类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2024年新I卷，第16题,15分

求弦长

求椭圆的离心率

根据椭圆过的点求标准方程

椭圆中三角形(四边形)的面积

根据韦达走理求参数

2023年新I卷，第22题,12分

求直线与抛物线相交所得弦的弦长

抛物线标准方程

由导数求函数的最值(不含参)

基本(均值)不等式的应用

求平面轨迹方程

2022年新I卷，第11题,5分

求直线与抛物线相交所得弦的弦长

根据抛物线方程求焦点或准线

判断直线与抛物线的位置关系

2021年新Ⅱ卷，第20题,12分

求椭圆中的弦长

根据离心率求椭圆的标准方程

根据弦长求参数

椭圆中的直线过定点问题

2020年新I卷，第13题,5分

求抛物线焦点弦长

无

2020年新Ⅱ卷，第14题,5分

求抛物线焦点弦长

无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的弦长公式及其相关计算

2.理解、掌握圆锥曲线的弦长万能公式（硬解定理）及其相关计算

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习

知识讲解

弦长公式

若直线与圆雉曲线相交于两点，则弦长

圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理）

设直线方程为:y=kx+b(特殊情况要对

圆锥曲线的方程为:fx,y

可化为ax

设直线和曲线的两交点为Ax1,y1,Bx2,y2,

AB

(2)若消去x,得ay

AB

考点一、椭圆中的弦长问题

1．（2024高三·全国·专题练习）已知A，B是椭圆与直线的交点，求线段AB的长度.

【答案】

【分析】

先设出两点坐标，再联立方程，根据韦达定理及弦长公式计算结果即可.

【详解】

解：设点A的坐标为x1,y1，点

联立，可得，

由题知是上式方程的根，由韦达定理可得，

所以

，

所以.

2．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知点为椭圆上不同两点，点为椭圆的一个焦点.

(1)求椭圆的标准方程和离心率；

(2)若的面积，求直线的方程.

【答案】(1)；

(2)或

【分析】（1）根据椭圆上点坐标以及焦点坐标解方程可得椭圆的标准方程，由离心率定义计算可得离心率；

（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，联立直线以及椭圆方程并求得弦长AB,再由面积即可得出直线的方程.

【详解】（1）由在椭圆C:x2a

解得，

又F1,0可得，因此，即

所以椭圆的标准方程为,

其离心率为.

（2）根据题意可知，若直线的斜率不存在，则，如下图所示：

此时，的面积为，满足题意；

可得此时直线的方程为；

若直线的斜率存在，设直线的方程为，如下图所示：

联立，消去并整理可得，

解得或，又，所以

此时，

点F1,0到直线的距离为，

所以的面积为，

解得，

所以直线的方程为；

综上可知，直线的方程为或

3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别是，点在上，且的面积．

(1)求的标准方程；

(2)过点作直线与交于另一点，求直线的斜率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由的面积结合可先列方程求出，进一步将点坐标代入椭圆方程可得的值，由此即可得解.

（2）设，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式以及即可列方程求出，由此即可得解.

【详解】（1）依题意可得．

．

将点的坐标代入的方程，得，解得．

所以的标准方程为．

（2）??

依题意得直线存在斜率，设．

代入的方程得，即，

所以，且，

解得，

，

解得，即．

4．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）由离心率公式可得，进而可得，即可得解；

（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；

充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解.

【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，

又，所以椭圆方程为；

（2）由（1）得，曲线为，

当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；

当直线的斜率存在时，设，

必要性：

若M，N，F三点共线，可设直线即，

由直线与曲线相切可得，解得，

联立可得，所以，

所以,

所以必要性成立；

充分性：设直线即，

由直线与曲线相切可得，所以，

联立可得，

所以，

所以

，

化简得，所以，

所以或，所以直线或，

所以直线过点，M，N，F三点共线，充