第12讲 幂函数（人教A版2019必修第一册）（解析版）.docx

第12讲幂函数

【人教A版2019】

·模块一幂函数的概念

·模块二幂函数的图象与性质

·模块三课后作业

模块一

模块一

幂函数的概念

1．幂函数的概念

(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)幂函数的特征：

①xα的系数为1；

②xα的底数是自变量；

③xα的指数为常数.

只有同时满足这三个条件，才是幂函数.

【考点1对幂函数的概念的理解】

【例1.1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（????）

A．y=3x B．y=x2+2

【解题思路】根据幂函数的定义直接得出结果.

【解答过程】A：函数y=3x为一次函数，故

B：函数y=x2

C：函数y=(x

D：函数y=x=x

故选：D.

【例1.2】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①y=x3；②y=4x2；③y=x5

A．4 B．3 C．2 D．1

【解题思路】由幂函数的定义即可求解.

【解答过程】由于幂函数的一般表达式为：y=

逐一对比可知题述中的幂函数有①y=x3；⑤

故选：C.

【变式1.1】（23-24高一上·江西吉安·期中）下列函数是幂函数的是（????）

A．y=x2-1 B．y=

【解题思路】根据幂函数的定义判断可得出结论.

【解答过程】由幂函数的定义可知，B选项中的函数为幂函数，ACD选项中的函数都不是幂函数.

故选：B.

【变式1.2】（23-24高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（????）

A．幂函数的图象一定过原点

B．α=1,3,12

C．幂函数的图象会出现在第四象限

D．y=2

【解题思路】利用幂函数的简单性质判断即可．

【解答过程】解：幂函数图象不一定过原点，例如y=x-

当α=1,3,12时，幂函数y=x，y

由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确；

函数y=2x2是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如y=

故选：B.

【考点2求幂函数的函数值、解析式】

【例2.1】（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）已知幂函数fx的图象过点P2,2,则f

A．16 B．8 C．4 D．2

【解题思路】利用待定系数法求出函数解析式,再计算f4的值

【解答过程】设fx=xα,α

所以f2=

∴

故选：D.

【例2.2】（23-24高一上·四川成都·期中）幂函数y=fx的图象过点4,

A．fx=x-12

C．fx=x

【解题思路】设出幂函数解析式，将点的坐标代入即可求解.

【解答过程】设幂函数fx=xa，将点4,12代入

所以幂函数的解析式为fx=x-1

故函数的解析式为fx=x-

故选：A.

【变式2.1】（23-24高一上·四川遂宁·期中）已知幂函数y=fx的图象过点2,4，则f

A．5 B．6 C．8 D．9

【解题思路】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f3

【解答过程】由题意令fx=xα，由于图象过点2,4，得2α=4

故选：D.

【变式2.2】（23-24高二上·辽宁·开学考试）已知点m,116在幂函数f

A．fx=x-2 B．fx

【解题思路】由幂函数的定义可以求出m=2，然后将点的坐标代入即可求出n=-4

【解答过程】由幂函数的定义可知m-1=1，解得

将点2,116代入fx=x

所以fx

故选：B．

模块二

模块二

幂函数的图象与性质

1．常见幂函数的图象与性质

幂函数

图象

定义域

R

R

R

值域

R

R

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数

单调性

在R上为增函数

，增函数

，减函数

在R上为增函数

在上为增函数

，增函数

，减函数

定点

（1,1）

温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a0时，y＝xα是增函数；当α0时，y＝xα是减函数．

2．一般幂函数的图象与性质

(1)一般幂函数的图象：

①当α=1时，y=x的图象是一条直线.

②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.

③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：

（p、q互质）

p，q都是奇数

p是偶数，q是奇数

p是奇数，q是偶数

(2)一般幂函数的性质：

通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：

①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).

②α0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.

③α0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方

无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.

⑤任何两个幂函数的图象最多有三个