第14讲 导数中的隐零点问题（虚设零点设而不求）（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）.docx

导数中的隐零点问题（虚设零点设而不求）

（高阶拓展、竞赛适用）

（3类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2020年新I卷，第21题,12分

导数中的隐零点问题

不等式恒成立问题

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分

【备考策略】1能用导数求解函数基本问题

2掌握函数零点存在性定理及其应用

3能设而不求进行隐零点的相关替换求值或范围

【命题预测】零点问题是高考的热点问题，隐零点的代换与估计问题是函数零点中常见的问题之一,其源于含指对函数的方程无精确解,这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围，高考中曾多次考查隐零点代换与估计,所以本节我们做一个专门的分析与讨论，方便学生高考综合复习

知识讲解

在求解导数问题时，我们一般对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题，我们称这类问题为“隐零点问题”．

1.解题步骤

第1步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程,并结合的单调性得到零点的范围;

第2步:以零点为分界点,说明导函数的正负,进而得到的最值表达式;

第3步:将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简:

（1）要么消除最值式中的指对项

（2）要么消除其中的参数项;

从而得到最值式的估计.

2.隐零点的同构

实际上,很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项,而这类问题由往往具有同构特征,所以下面我们看到的这两个问题,它的隐零点代换则需要同构才能做出,否则,我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.我们看下面两例:一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析

所以在解决形如,这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.

3.解题感悟

1.隐零点指对于超越方程或者是一些带参数的方程，无法直接求得确切的零点，但是零点确实存在的问题。特别是在求导的过程，求函数极值点，对原函数求导后，令导函数等于零，就导函数零点进一步探寻原函数极值点或最值时会经常遇到“隐零点”问题。

2.隐零点常见题型，有证明零点个数，求解不等式，求最值的取值范围，求参数的范围。

3.解决办法，往往是“虚设零点”，设而不求，结合零点存在定理来初步确定零点的所在区间。往往这样的零点都与某个参数相关联，相互依赖。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。

4.特别是针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题，或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。

考点一、隐零点初应用

用隐零点证明不等式：

用隐零点证明

3．已知函数，求：

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，总有，求整数的最小值.

1．（2024·山东威海·二模）已知函数．

(1)求的极值；

(2)证明：．

2．（2024·浙江杭州·一模）已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，证明：对任意的，．

考点二、隐零点问题之参数范围综合

1．（2020·新Ⅰ卷·统考高考真题第21题）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．

2．已知函数，若,求的取值范围.

3．已知函数，当且时,不等式在上恒成立,求的最大值.

4．已知函数对任意的恒成立,其中实数,求的取值范围.

1．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数

(1)若，求的单调区间.

(2)若对，恒成立，求实数的取值范围

2．（2024·山东日照·三模）已知函数，，.

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，对，，求正整数的最大值.

3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数.

(1)讨论的零点个数；

(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.

考点三、隐零点问题之不等式证明综合

1．（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，证明：在定义域内恒成立．

2．（2024·河北张家口·三模）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：．

1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，若的最小值为0，

(1)求的值;

(2)若，证明:存在唯一的极大值点，且.

2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数，.

(1)求的极值；

(2)证明：.

1．（2021·黑龙江·模拟预测）已知函数，求：

(1)当时，求曲线在点处的切