第16讲 导数中的双变量与多变量问题（原卷版）.docx

第16讲导数中的双变量与多变量问题

【典型例题】

例1．（2024·高三·湖北荆门·阶段练习）已知函数，是大于0的常数.记曲线在点处的切线为，在轴上的截距为，．

(1)当，时，求切线的方程；

(2)证明：.

例2．（2024·高三·云南曲靖·阶段练习）关于函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若在处的切线垂直于直线，对任意两个正实数，，且，有，求证：.

例3．（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)当时，讨论函数的极值；

(2)已知，函数存在两个极值点，，证明：．

例4．（2024·山西·模拟预测）已知函数.

(1)若，求的取值范围；

(2)若关于的方程有两个不同的正实根，证明：.

例5．（2024·高三·四川成都·阶段练习）已知函数，其中．

(1)当时，求证：在上单调递减；

(2)若有两个不相等的实数根．

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）求证：．

例6．（2024·高三·湖北咸宁·阶段练习）已知函数.

(1)当时，，求实数的取值范围;

(2)若，使得，求证：．

例7．（2024·高三·福建福州·期中）已知函数，为的导函数．

(1)当时，讨论函数的单调性

(2)已知，，若存在，使得成立，求证：．

例8．（2024·高三·山西吕梁·阶段练习）已知函数

(1)求函数的单调区间；

(2)若方程有两个不等的实数根，，且，证明：．

【过关测试】

一、单选题

1．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）已知正数满足，则（????）

A． B． C．1 D．

二、多选题

2．（2024·广东广州·一模）已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（????）

A． B． C． D．

3．（2024·高三·浙江宁波·期末）已知，，，，则（????）

A． B． C． D．

4．（2024·海南海口·模拟预测）设函数，则（????）

A．

B．函数有最大值

C．若，则

D．若，且，则

三、填空题

5．（2024·山西临汾·模拟预测）已知，恒成立，则．

四、解答题

6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．

(1)若存在零点，求a的取值范围；

(2)若，为的零点，且，证明：．

7．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数为实数.

(1)讨论函数的极值；

(2)若存在满足，求证：.

8．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数.

(1)若是函数的一个极值点，求实数的值；

(2)若函数有两个极值点，其中，

①求实数的取值范围；

②若不等式恒成立，求实数的取值范围.

9．（2024·高三·北京·开学考试）已知.

(1)若，求在处的切线方程；

(2)设，求的单调区间；

(3)求证：当时，.

10．（2024·四川南充·二模）已知函数有三个极值点.

(1)求实数的取值范围；

(2)若，求实数的取值范围.

11．（2024·高三·甘肃·开学考试）已知函数.

(1)若在上单调递增，求的取值范围；

(2)若有2个极值点，求证：.

12．（2024·四川·一模）已知函数．

(1)若，求的最小值；

(2)若有2个零点，证明：．

13．（2024·高三·湖南·开学考试）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：．

14．（2024·高三·全国·阶段练习）已知是函数的导函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)设为函数的两个零点且，证明：．

15．（2024·全国·模拟预测）设函数.

(1)若，求函数的最值；

(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.

16．（2024·高三·天津宁河·期末）已知函数，．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)求的单调区间；

(3)设是函数的两个极值点，证明：．

17．（2024·高二·湖南·期末）设，，，函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若时，函数有三个零点，，，其中，试比较与的大小关系，并说明理由．

18．（2024·高三·河北沧州·阶段练习）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若存在不相等的实数，使得，证明：．

19．（2024·高三·江西·阶段练习）已知函数.

(1)当时，存在，使得，求M的最大值；

(2)已知m，n是的两个零点，记为的导函数，若，且，证明：.