第17讲 圆锥曲线中的阿基米德三角形（高阶拓展、竞赛适用）（教师版）.docx

圆锥曲线中的阿基米德三角形

（高阶拓展、竞赛适用）

（8类核心考点精讲精练）

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线阿基米德三角形的定义

2.理解、掌握圆锥曲线的阿基米德三角形问题及其相关计算

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习

知识讲解

椭圆中的阿基米德三角形

设椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的弦为AB,过A，B两点做椭圆切线，交于Q点，称△ABQ为阿基米德三角形,则有:

性质1:弦AB绕着定点Pm,0转动时,则其所对顶点Q落在直线x=a2m上.

其中,当P点为左(右)焦点时

双曲线中的阿基米德三角形

设双曲线C:x2a2-y2b2=1a,b0的弦为AB,过A，B两点做双曲线切线，交于Q点，称△ABQ为阿基米德三角形,则有:

性质1:弦AB绕者定点Pm,0转动时,则其所对顶点Q落在直线x=a2m上.

其中,当P点为左(右)焦点时

抛物线中的阿基米德三角形

抛物线的弦为AB,过A，B

阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴

若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条直线

若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点(若直线l方程为:ax+by+c=

底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为a3

若阿基米德三角形的底边过焦点,顶点Q的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小值为p

在阿基米德三角形中,∠

AF?

抛物线上任取一点I(不与A,B重合),过I作抛物线切线交QA,QB于S,T,连接AI,BI,则△

考点一、阿基米德三角形的认识及简单应用

1．过抛物线的焦点作抛物线的弦与抛物线交于、两点，为的中点，分别过、两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述：

①点必在抛物线的准线上；

②；

③设、，则的面积的最小值为；

④；

⑤平行于轴.

其中正确的个数是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】作出图形，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出点的坐标，可判断①的正误；利用直线、斜率的关系可判断②的正误；计算出的面积的表达式，可判断③的正误；利用直线、的斜率关系可判断④的正误；求出直线的斜率，可判断⑤的正误.综合可得出结论.

【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为.

证明如下：

由于点在抛物线上，则，

联立，可得，即，，

所以，抛物线在其上一点处的切线方程为.

如下图所示：

设、，设直线的方程为，

联立，消去得，

由韦达定理可得，，

对于命题①，抛物线在点处的切线方程为，即，

同理可知，抛物线在点处的切线方程为，

联立，解得，所以点的横坐标为，

即点在抛物线的准线上，①正确；

对于命题②，直线的斜率为，直线的斜率为，，

所以，，②正确；

对于命题④，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时；

当不与轴垂直时，直线的斜率为，

直线的斜率为，，则.

综上，，④正确；

对于命题③，，

，

所以，，

当且仅当时，等号成立，③错误；

对于命题⑤，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时直线与轴重合，⑤错误.

故选：B.

【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查了抛物线的焦点弦的几何性质以及韦达定理法的应用，考查计算能力，属于中等题.

2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据“阿基米德三角形”的性质直接可得点的坐标，进而得解.

【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，

由题意知，为“阿基米德三角形”，可得点必在抛物线的准线上，

所以点，直线的斜率为，

又因为，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，即,

故选：C．

1．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明