第23讲 三角函数的概念（思维导图+4知识点+6考点+过关检测）（解析版）.docx

第23讲三角函数的概念

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；

2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；

3．会利用任意角的三角函数的定义求值；

4．掌握公式一并会应用.

知识点1任意角的三角函数的定义

1、利用单位圆定义任意角的三角函数

设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点．

三角函数

定义

记作

符号表示

正弦函数

点的纵坐标

余弦函数

点的横坐标

正切函数

点的纵坐标

与横坐标的比值

我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

正弦函数

余弦函数

正切函数

2、用角的终边上点的坐标表示三角函数

如图，设若是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点到原点的距离为，则，，．

【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点的位置无关．

知识点2三角函数的定义域和函数值的符号

1、三角函数的定义域

三角函数

定义域

【说明】单位圆上的取值范围是，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域．

2、三角函数值在各象限的符号

根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号，如下图．

由于原点到角的终边上任意一点的距离是正值，根据三角函数的定义，值

（1）正弦函数值的符号取决于纵坐标的符号；

（2）余弦函数值的符号取决于横坐标的符号；

（3）正切函数值的符号取决于由的符号共同决定，即同号为正，异号为负．

【三角函数值的符号记忆】

“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．

其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．

知识点3终边相同的角的三角函数值

1、公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：

其中

注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．

（2公式一统一概括为f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．其特征是：等号两边是同名函数，且符号相同，即同名同号．

2、特殊角的三角函数值

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

270°

0

0

1

0

－1

1

0

-

-

-

－1

0

0

1

－1

0

知识点4三角函数定义的应用

1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值

方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；

2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值

方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；

3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值

方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论）

考点一：由终边上的点求三角函数值

例1．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，点为角终边上一点，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为点为角终边上，故，故选：D.

【变式1-1】（23-24高一下·辽宁·月考）若角的终边经过点，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为角的终边经过点，

所以，，

所以.故选：D

【变式1-2】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知钝角的终边上的一点，则.

【答案】/

【解析】因为钝角的终边上的一点，所以，

则，故，

故答案为：

【变式1-3】（23-24高一下·河北张家口·月考）已知角的终边落在直线上，求，，的值．

【答案】答案见解析

【解析】因为角的终边落在直线上，而直线即过第二象限也过第四象限，

当角的终边在第二象限时，在直线上取一点，

则，

当角的终边在第四象限时，在直线上取一点，

则.

考点二：由三角函数值求终边上点的参数

例2.（23-24高一上·广东揭阳·月考）在平面直角坐标系中，点M在角的终边上，若，则（????）

A．或1 B．或6 C．6 D．1

【答案】C

【解析】因点M在角的终边上，则，故，解得，.故选：C.

【变式2-1】（23-24高一下·河南南阳·期中）已知角的终边经过点，且，则（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题知，解得．故选：B.

【变式2-2】（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角的终边经