第25讲 数列不等式的经典放缩问题（解析版）.docx

第25讲数列不等式的经典放缩问题

【典型例题】

例1．（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)设，证明：.

【解析】（1）由题意可知，当时，；

当时，由得，，

两式作差可得，，

也适合该式，故；

（2）证明：由题意知，

故

，

由于，则，故，

即.

例2．（2024·广东广州·二模）已知数列中，.

(1)求数列的通项公式；

(2)令，记为的前项和，证明：时，.

【解析】（1）因为，

所以，

作差可得，变形为，即，即，化简为，

因为，所以，

因为，

所以数列的通项公式为.

（2）因为，

所以，，

作差可得，

所以，

，

设，则在给定区间上递减，又

故在是减函数，，

所以当时，.

例3．（2024·江西鹰潭·一模）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列．

(1)求的通项公式;

(2)令，为数列的前项积，证明：．

【解析】（1）因为是首项为、公差为的等差数列，

故，

即，

当时，，

故

，

当时，，符合上式，

故；

（2）由，，

故，

则，

因为，故.

例4．（2024·宁夏·一模）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)若，证明：．

【解析】（1）设的公差为，则根据题意有，

解之得，所以，

即的通项公式为；

（2）由上可知，

所以，

则，

易知,

.

例5．（2024·高三·河北·期末）设为数列的前项和，已知为等比数列，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，设，记为数列的前项和，证明：．

【解析】（1）为数列的前项和，，

则有，所以，等比数列的公比为2，

又，所以；

（2）证明：由（1）知，，当时，，

所以，所以，

则，

因此．

例6．（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知数列的前项和，，．

(1)求数列的通项公式;

(2)证明：．

【解析】（1）因为，，当时，解得，

当时，所以，

又，所以，

所以，

所以，所以，

所以为等差数列，且、，所以.

（2）由（1）可得，当时，

当时，当时，

当时

，

综上可得.

例7．（2024·高三·山东青岛·期末）在各项均为正数的数列中，，，．

(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；

(2)若，记数列的前n项和为．

（i）求；（ii）证明：．

【解析】（1）由题意知，

因此数列是以为首项，以4为公比的等比数列，

于是，．

．

又适合上式，所以．

（2）（i）因为，

所以

．

（ii）因为数列的前n项和为

，

所以只需证明：，

也就是，

令，只需证明，

设函数，，．

所以，即成立，得证．

【过关测试】

1．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，且为，的等比中项.

(1)求数列的通项公式；

(2)设为数列的前项和，证明：.

【解析】（1）因为，所以，①

当时，，②

①－②得，化简可得，，

且当时，满足上式，

所以数列是公差为2的等差数列，

由题可得，故，解得，

所以，；

（2）证明：令，

所以

，

又函数在上单调递增，所以.

2．（2024·高二·四川内江·期末）设为数列的前项和，已知，.

(1)数列是否是等比数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由；

(2)设，数列的前项和为，证明：.

【解析】（1）由题设，即，且，

又时，，可得，

综上，是公比为2的等比数列，通项公式为.

（2）由题设，故，

所以

，又，

所以，得证.

3．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项，且满足.

(1)求证：数列为等比数列；

(2)记，求数列的前项和，证明：.

【解析】（1）证明：由题意知数列的首项，且满足，

故，

由于，故，故，

故数列是以为首项，公比为3的等比数列；

（2）由（1）可得，故，

故，

故

，

由于，故.

4．（2024·广东茂名·一模）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)令，为数列的前项积，证明：.

【解析】（1）由是首项为、公差为的等差数列，

故，

即，

当时，，

故

，

当时，，符合上式，

故；

（2）由，，

故，

则

，

由，

故，

则.

5．（2024·高二·上海青浦·期末）已知数列的前n项和为，且满足，．

(1)判断是否为等差数列？并证明你的结论；

(2)求和；

(3)求证：．

【解析】（1）是等差数列，证明如下：

由题设，显然不可能为0，则，且，

所以是首项、公差都为2的等差数列.

（2）由（1）知：，显然时也满足，则，

当时，，

而不满足上式，则.

（3）由

，且，

又当时成立，

综上，.

6．（2024·安徽淮北·一模）已知数列为递增的等比数列，，记、分别为数列、的前项和，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：当时，.

【解析】（1）设等比数列的公比为，

因为，，可得，

可两式相减，可得，所以