第27讲 正弦函数、余弦函数的性质（思维导图+4知识点+8考点+过关检测）（解析版）.docx

第27讲正弦函数、余弦函数的性质

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义；

2．会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期、单调区间；

3．掌握函数y=sinx，y=cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性；

4．掌握正（余）弦函数的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.

知识点1周期函数

1、周期函数的定义：函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.

【注意】定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.

2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.

3、周期函数的周期公式

（1）一般地，函数的最小正周期

（2）若函数的周期是，则函数的周期为,

知识点2正（余）弦函数的性质

图象

定义域

值域

[-1,1]

[-1,1]

最值

周期性

奇偶性

奇

偶

单调性

在上单调递增

在上单调递减

在上单调递增

在上单调递减

对称性

对称轴方程：

对称中心，

对称轴方程：

对称中心，

知识点3正弦型及与余弦型函数的性质

y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(A≠0)的性质

函数

定义域

值域

单调性

当，时，将视为整体，代入或相应的单调区间求解；当或时，注意单调区间的变化.

奇偶性

当时为奇函数；

当时为偶函数

当时为偶函数；

当时为奇函数

周期性

图象对称性

将视为整体，代入或相应的对称轴或对称中心的横坐标满足的方程求解.

知识点4三角函数的值域求法

一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．

三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．

常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：

（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sint的最值(值域)．

（2）形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sinx，将函数y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)．

（3）对于形如y＝asinx(或y＝acosx)的函数的最值还要注意对a的讨论．

考点一：求正（余）弦函数的周期性

例1．求下列函数的周期.

(1);

(2);

(3);

(4)

【答案】(1)；(2)；(3)；(4)

【解析】（1）因为，

由周期函数的定义得，的周期为，所以函数的周期为.

（2）因为，

由周期函数的定义得，的周期为，所以函数的周期为.

（3）因为，

由周期函数的定义得，的周期为，

所以函数的周期为.

（4）因为，

由周期函数的定义得，的周期为，

所以函数的周期为.

【变式1-1】（23-24高一上·江苏扬州·月考）函数的最小正周期，则.

【答案】±2

【解析】因为，所以，解得，

故答案为：.

【变式1-2】（23-24高三上·湖北荆州·月考）函数的最小正周期为.

【答案】/

【解析】由诱导公式可知，，

当时，与不恒相等，故的最小正周期为，

故答案为：

【变式1-3】（23-24高一下·上海·开学考试）已知，则.

【答案】2

【解析】易知以6为周期.枚举得

，，，，，，

所以.

又，所以.

故答案为：

考点二：正（余）弦函数的奇偶性

例2.函数y＝是（????）

A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数

【答案】A

【解析】定义域为R，，则是奇函数．故选：A.

【变式2-1】（23-24高一下·上海·期中）已知函数是奇函数，则．

【答案】

【解析】由题意可知：关于原点对称，

可知，且，所以.

故答案为：.

【变式2-2】（23-24高一下·辽宁本溪·月考）（多选）已知为偶函数，则和的可能取值分别为（????）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】因为为偶函数，所以，

则，

所以为任意实数，,B，C选项符合题意．故选：ABC．

【变式2-3】（23-24高一下·辽宁朝阳·月考）已知定义域为的奇函数，则的值为（????）

A． B．1 C．0 D．

【答案】C

【解析】因为定义域为的奇函数，

则，即，

又，即，

即，解得，

所以，则.故选：C

考点三：正（余）弦函数对称性

例3.（23-24高一下·北京海淀·期中）函数的对称中心为（????）