第28讲 妙用圆锥曲线三种定义解决圆锥曲线问题(解析版）.docx

第28讲妙用圆锥曲线三种定义解决圆锥曲线问题

【典型例题】

例1．（2024·广东·一模）已知直线与椭圆在第一象限交于P，Q两点，与轴，轴分别交于M，N两点，且满足，则的斜率为.

【答案】/

【解析】如图所示，不妨设P在Q的左侧，取的中点，

设，则，

可得直线的斜率，直线的斜率，

因为在椭圆上，

则，两式相减得，

整理得，即，

可知，

因为在内单调递增，

由可得，

即，整理得，

可知为的中点，则，可知，

结合可得，且，则，

检验符合题意，所以直线的斜率为.

故答案为：.

例2．（2024·四川成都·模拟预测）已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F的距离与到定直线l的距离（F不在l上）的比值e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线的左焦点的直线l（斜率为正）交双曲线于A，B两点，满足．设M为AB的中点，则直线OM斜率的最小值是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题可知在左支上在右支上，如图，设，在左准线上的射影为，因为，

则，

所以，

设，则，

所以，，即，

所以，

所以，当且仅当即时，等号成立，

故选：C.

例3．（2024·云南·三模）在3世纪，古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当是地，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由方程，可得，显然

即，

所以，

即，

可得动点到定点和到定直线的距离比为常数，

要使得方程表示的曲线是双曲线，则满足，解得，

即实数的取值范围是.

故选：B.

例4．（2024·贵州黔西·一模）在正方体中，点为平面内的一动点，是点到平面的距离，是点到直线的距离，且（为常数），则点的轨迹不可能是（????）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【答案】A

【解析】由条件作出正方体，并以为原点，直线、和分别为、和轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设正方体的棱长为（），点，

所以得，，

由，得，

所以，即①（），

当时，①式化得：，

此时，点的轨迹是抛物线；

当时，①式化得：，

即，

②，

当时，，则②式，是双曲线的方程，即点的轨迹为双曲线；

当时，，则②式，是椭圆的方程，即点的轨迹为椭圆；

故选：A.

例5．（2024·高三·全国·课时练习）已知椭圆的左准线为l，左、右焦点分别为、，抛物线的准线也为l，焦点是，与的一个交点为点P，则的值等于（????）

A． B． C．4 D．8

【答案】B

【解析】椭圆中，，，，因此左准线的方程为即，又，设到准线的距离为，

由是抛物线上的点得，

由是椭圆上的点得，且，解得．

故选：B．

例6．（2024·江西鹰潭·一模）已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意，椭圆的左焦点为，，

过作轴，垂足为，由，

得，，则，

设，则有，，

由，两式相减得，

则有，

所以.

故选：B.

例7．（2024·上海杨浦·一模）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为.

【答案】

【解析】设，

因为，

所以，所以，

又因为，所以，

因为都在第一象限，所以，

又因为且，

所以，所以，所以抛物线方程为，

故答案为：.

例8．（2024·浙江宁波·一模）已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则．

【答案】

【解析】取椭圆方程为，，直线方程为（椭圆右准线），

椭圆上点，右焦点，设点到直线的距离为d，

则

，

所以，

因为本题椭圆离心率:，设

由焦半径公式:得:,

即中点，，则垂直平分线斜率为

根据点在椭圆上，则有，，作差化简得，

则线段的垂直平分线方程为,代入得:

,即,则.

故答案为：.

例9．（2024·高三·全国·专题练习）已知是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，是坐标原点，则的取值范围是．

【答案】

【解析】设的坐标为，椭圆中，，，

，所以椭圆的准线方程为，即，

作出椭圆的右准线，设在右准线上的射影为，连接，

根据圆锥曲线的统一定义，得，

，同理可得，

，

点在椭圆上，得，，

由此可得，得，

即，当时，

当时，所以，所以

所以，．

故答案为：

【过关测试】

一、单选题

1．（2024·高三·全国·对口高考）若实数、、使得函数的三个零点分别为椭圆、双曲线、抛物线的离心率、、，则、、的一种可能取值依次为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C