2022届新高考数学全国I卷专项解析专题13 立体几何与空间向量（解答题）解析版.pdfVIP

2022届新高考数学全国I卷专项解析

专题13立体几何与空间向量(解答题)(12月卷)

53.(2021・山东•济南国语学校高三阶段练习)如图，四棱锥P-45CD的底面是矩形，PD_L底面A8CO,

M为BC的中点，且

(1)证明：平面E4MJ•平面PHO；

⑵若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2)立.

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【分析】

(1)由产力底面A8CD可得又PB工AAf，由线面垂直的判定定理可得AW_L平面尸BD,再

根据面面垂直的判定定理即可证出平面尸AA/J■平而PQ：

(2)由(1)可知，AM_L8£，由平面知识可知，由相似上可求出AO，再根据四棱锥

夕-的体积公式即可求出.

【详解】

(1)因为P£_L底面ABC。，4V/平面A8CO,

所以PD_L4W,

又尸5_LAM,PBRPD=P,

所以AMJL平面/有O,

而AM平面R4M,

所以平面PAM平面PBD.

(2)由(1)可知，AMJ_平面出迫，所以

从而^DAB~^ABM,设BM=x,AD=2x,

则即2丁=1,解得所以人。=0，

因为P£)_L底面ABCO,

故四棱锥P—48CQ的体积为V=』x(lxa)xl=¥.

54.(2022・全国•高三专题练习)如图，在五面体ABCDE中，平面8CO_L平面ABC,AC1BC,EDUAC,

AAC=BC=2ED=2,DC=DB=6

(1)求证：平面平面ABC；

(2)已知尸是线段BC上点，满足8C=38尸，求二面角尸一隹一8的余弦值.

【答案】

(I)证明见解析

(2)迈

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【分析】

(1)证明EM_L平面ABC即可；

(2)利用向量法求出两个平面的法向量，再利用夹角公式计算即可

(1)

如图，设8C中点为。，过。作Or//4C,令OX交A8于M,连接EM.,所以OM=gAC,且。

由已知OE/Z4C,且石。=g4C.所以DEHOM,旦DE=OM

所以。OEM为平行四边形，所以OD〃EM

因为ABDC为等边三角形，则有DO_L8C,

又平面88_L平面ABC,所以DO_L平面4BC，

所以臼0_L平面A8C

又加u平面AE8

所以平面ABEJ■平面A5c

(2)

由(1)知。4、OB、条直线两两垂直，如图建立空间直角坐标系。-冷2,

(2)求平面944与平面PC。所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)叵

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【分析】

(1)取AO的中点0,链接OCOE,在梯形A8CD中可证明AB//OC,由A5与CE所成角的大小为45。可

证明OCJ_OE,即AB_LOE,结合ABL4D,利用线面垂直的判定定理可证明44_L平面APO，利用面面

垂直的判定定理可证明结果.(2)连接OP.在等边中，可知PO_LA。，从而可证明PO_L平面A8C。，

即OOROP两两垂直，以。为原点建立空间直角坐标系，用面面垂直的向量方法计算可得夹角的正弦

值.

【详解】

(1)取40的中点0,链接OCOE,AD=2BC=2AB=