数学原创-2025年全国普通高校统一招生考试数学模拟试卷A卷.docx

2025年全国普通高校统一招生考试

数学模拟试卷A卷

一、单选题

1．集合，集合，则等于（????）

A． B． C． D．

2．已知复数，则（????）

A． B． C． D．

3．函数的最小正周期和最大值分别为（????）

A．，2 B．，2 C．， D．，

4．若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数的值为（????）

A． B．4 C． D．2

5．如图，将底面半径为1高为3的圆锥截去体积为的锥尖，剩余圆台的侧面积为（??）

??

A． B． C． D．

6．渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：

出生时间

1965年1月-4月

1965年5月-8月

1965年9月-12月

1966年1月-4月

…

改革后法定退休年龄

60岁＋1个月

60岁＋2个月

60岁＋3个月

60岁＋4个月

…

那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（???）

A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁

7．设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（）

A． B． C． D．8

8．已知，设实数，若对任意恒成立，则的最小值为（???）

A． B． C．e D．2e

二、多选题

9．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中正确的是（????）

A． B．

C．D．

10．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是（????）

A．每一个直角三角形的面积为 B．

C． D．

11．如图，某工艺品是一个多面体，点两两互相垂直，且位于平面的异侧，则下列命题正确的有（????）

A．异面直线与所成角的余弦值为

B．当点为的中点时，线段的最小值为

C．工艺品的体积为

D．工艺品可以完全内置于表面积为的球内

三、填空题

12．函数（其中为自然对数的底数）的反函数为，则．

13．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，曲线围成的图形的周长是为

；若是曲线上任意一点，的最小值为。

14．九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为.

5

四、解答题

15．某消费者协会为了解2024年当地某市网购消费情况，随机抽取了100人，对其2024年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间内，并按，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值，并估计居民网购消费金额的中位数；

(2)若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全下面的列联表，并判断能否依据小概率值的独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关．

男

女

合计

网购迷

20

非网购迷

47

合计

附，其中．

α

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

16．已知函数（且），当时，.

(1)求实数的值；

(2)若为的极小值，求实数的取值范围；

17．如图，已知正四棱锥的体积为，高为.

(1)求平面与平面的夹角的余弦值；

(2)现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动1个单位，求2秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望.

18．已知正项数列满足，，记，。

(1）证明是等差数列；

(2)求数列的通项公式；

（3）证明。

.

19在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与椭圆交于A，B两点（其中点A在轴上方），连接．现将平面沿轴向上折叠，使得面面，

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）.连接．将平面沿轴向上折叠，使二面角为