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高等数学教案§11无穷级数

内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室

第十一章无穷级数

教学目的：

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握，和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11.了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

教学重点：

1、级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；

3、交错级数的莱布尼茨判别法；

4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；

5、，和的麦克劳林展开式；

6、傅里叶级数。

教学难点：

比较判别法的极限形式；

莱布尼茨判别法；

任意项级数的绝对收敛与条件收敛；

函数项级数的收敛域及和函数；

泰勒级数；

傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11.1常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

常数项级数:给定一个数列

u1,u2,u3,×××,un,×××,

则由这数列构成的表达式

u1+u2+u3+×××+un+×××

叫做常数项)无穷级数,简称常数项)级数,记为,即

,

其中第n项un叫做级数的一般项.

级数的部分和:作级数的前n项和

称为级数的部分和.

级数敛散性定义:如果级数的部分和数列有极限s,即,

则称无穷级数收敛,这时极限s叫做这级数的和,

并写成

;

如果没有极限,则称无穷级数发散.

余项:当级数收敛时,其部分和sn是级数的和s的近似值,它们之间的差值

rn=s-sn=un+1+un+2+???

叫做级数的余项.

例1讨论等比级数(几何级数)

的敛散性,其中a?0,q叫做级数的公比.

例1讨论等比级数(a?0)的敛散性.

解如果q?1,则部分和

.

当|q|1时,因为,所以此时级数收敛,其和为.

当|q|1时,因为,所以此时级数发散.

如果|q|=1,则当q=1时,sn=na??,因此级数发散;

当q=-1时,级数成为

a-a+a-a+???,

时|q|=1时,因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零,

所以sn的极限不存在,从而这时级数也发散.

综上所述,如果|q|1,则级数收敛,其和为;如果|q|?1,则级数发散.

仅当|q|1时,几何级数a?0)收敛,其和为.

例2证明级数

1+2+3+???+n+???

是发散的.

证此级数的部分和为

.

显然,,因此所给级数是发散的.

例3判别无穷级数

的收敛性.

解由于

,

因此

从而

,

所以这级数收敛,它的和是1.

例3判别无穷级数的收敛性.

解因为

,

从而

,

所以这级数收敛,它的和是1.

提示:.

二、收敛级数的基本性质

性质1如果级数收敛于和s,则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛,且其和为ks.

性质1如果级数收敛于和s,则级数也收敛,且其和为k