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本讲提纲4简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成垂直方向、同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成4简谐振动的合成*0504020301??代数方法:设两个振动具有相同频率,同一直线上运动,有不同的振幅和初相位4.1同方向、同频率的简谐振动的合成结论:仍然是同频率的简谐振动。合振幅式中:A可见:B合振幅最大。C??几何方法*XY上面得到:*讨论一:合振幅最大。当称为干涉相长。讨论二:当时,称为干涉相消。讨论三:一般情况:4.2同方向、不同频率的简谐振动的合成合成振动表达式:利用三角函数关系式:为了简单起见,先讨论两个振幅相同,初相位也相同,在同方向上以不同频率振动的合成。其振动表达式分别为:*附录:三角函数关系式的证明1.5简谐振动的能量*§2谐振子的阻尼振动?无阻尼的自由振动?谐振子的阻尼振动§3谐振子的受迫振动共振?谐振子的受迫振动?共振§4简谐振动的合成4.2同方向、不同频率的简谐振动的合成4.3垂直方向、同频率简谐振动的合成4.4垂直方向、不同频率简谐振动的合成4.1同方向、同频率的简谐振动的合成1.5简谐振动的能量*?简谐振动的势能:以水平的弹簧振子为例?简谐振动的动能:?简谐振动的总能量:*弹性力是保守力总机械能守恒,即总能量不随时间变化。求出动能的时间平均值:*求出势能的时间平均值:求出势能的时间平均值:*这些结论同样适用于任何简谐振动。振幅不仅给出简谐振动运动的范围,而且还反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比即弹簧振子的动能和势能的平均值相等,且等于总机械能的一半结论:1.6相图*坐标和速度组成的坐标系,称为相空间。在相空间中,用每一点表示运动状态,可得出相图。简谐振动在相空间中的轨迹为椭圆。2谐振子的阻尼振动*2-2谐振子的阻尼振动2-1无阻尼的自由振动实际振动过程存在着阻力,这种由弹性恢复力和阻力共同作用的振动叫阻尼振动振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比,与其方向相反。当物体低速运动时,阻力当物体高速运动时,阻力子弹运动、卫星发射过程,受到的阻力与速度平方正比反向。由于振动系统要不断克服阻力作功,所以要逐渐损耗振动的能量使振幅逐渐变小直至振动停止。以弹簧一维振动为例*称为振动系统的固有角频率,称为阻尼系数阻尼振动微分方程弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程:令:为二阶常系数齐次微分方程。*ABC通解为虚数,令阻尼较小时,*振幅项随时间周期性衰减。txo周期因子振动周期无阻尼时有阻尼时,周期慢长。这种情况称为欠阻尼阻力使周期增大由初始条件决定A和初相位,设即有:欠阻尼(2)阻尼较大时,方程的解:其中是积分常数,由初始条件来决定,这种情况称为过阻尼。过阻尼无振动发生。两项都衰减,不是周期振动。临界阻尼称之为临界阻尼情况。它是振动系统刚刚不能作准周期振动,而很快回到平衡位置的情况,应用在天平调衡中。是由初始条件决定的积分常数。(3)如果方程的解:是从有周期性因子到无周期性的临界点。欠阻尼临界阻尼过阻尼三种阻尼振动比较*3-1谐振子的受迫振动§3谐振子的受迫振动共振设强迫力阻尼力:是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。由微分方程理论:非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的解+非齐次的一个特解。在阻尼振动中,要维持振动,外界需加一个周期的强迫力------策动力。这种在周期性处力作用下进行的振动叫受迫振动。,则其通解为:*第一项为阻尼振动项,当时间较长时衰减为0。受迫振动可以看成是两个振动合成的。01第二项为策动力产生的周期振动。开始时运动比较复杂,当第一项衰减为0后,只作受迫振动,振动频率为策动力的频率。02稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为:03该等幅振动的角频率就是强迫力的频率;02经过足够长的时间,称为定态解:01在受迫振动中,振子因外力对它作功而获得能量,同时又因有阻尼而损耗能量。受迫振动开始时,前者大于后者,从而振动逐渐加强,随着振动加强,损耗能量增多,直到获
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