考点55圆锥曲线中范围与最值问题（2种核心题型 基础保分练 综合提升练 拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲练 易错重难点专项突破（新高考版）原卷版.docx

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考点55圆锥曲线中范围与最值问题

（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

【核心题型】

题型一范围问题

圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

【例题1】（2023·河南周口·模拟预测）已知椭圆的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的两点．则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【变式1】（2024·四川雅安·三模）若拋物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，，圆为的外接圆，直线与圆相切于点，点为圆上任意一点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【变式2】（2024·上海奉贤·三模）若曲线得右顶点，若对线段上任意一点，端点除外，在上存在关于轴对称得两点、使得三角形为等边三角形，则正数得取值范围是．

【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知斜率为1的直线与抛物线交于点，以点为圆心的圆过点，且圆关于直线对称．

(1)求抛物线与圆的方程；

(2)过轴上的点作斜率为1的直线，交圆于点，且与交于不同的两点，求的取值范围．

题型二最值问题

圆锥曲线中最值的求法

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.

【例题2】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆，其右焦点为，若直线过点与交于，则最小值为（????）

A． B．1 C． D．2

【变式1】（2024·河南濮阳·模拟预测）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：，下列结论不正确的是（????）

A．曲线C关于y轴对称

B．的最小值为

C．面积的最大值为

D．的取值范围为

【变式2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知分别为椭圆的左右焦点，过点的一条直线与交于，两点，，则椭圆的长轴的最小值为.

【变式3】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点，且，线段AB的垂直平分线与x轴交于点．

(1)求的值；

(2)求面积的最大值．

【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

1．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（???）

A． B．

C． D．

2．（2021·江苏盐城·三模）设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（????）

A． B． C．12,1 D．

3．（2024·山东菏泽·二模）已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．（2024·河南信阳·三模）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为（???）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、多选题

5．（2023·山东日照·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（????）

A．圆和圆外切 B．圆心在直线上

C． D．的取值范围是

6．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的准线交轴于点，焦点为，，为抛物线上不同的两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（????）

A． B．的最大值为

C．若，则 D．若，则的面积为

三、填空题

7．（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是．

8．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，，与在第一象限内交于点，且，与的离心率分别为，．则，的取值范围是．

四、解答题

9．（2024·甘肃白银·模拟预测）已知O为坐标原点，经过点的直线l与抛物线C：交于A，B（A，B异于点O）两点，且以AB为直径的圆过点O．

(1)求C的方程；

(2)已知M，N，P是C上的三点，若△MNP为正三角形，Q为△MNP的中心，求直线OQ斜率的最大值．

10．（2024·浙江·模拟预测）已知P为双