八年级数学下册第17章函数及其图象17.5实践与探索教案新版华东师大版.docxVIP

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八年级数学下册第17章函数及其图象17.5实践与探索教案新版华东师大版

一、导入新课

同学们，今天我们要一起探索一个有趣且重要的数学概念——函数及其图象。在之前的学习中，我们已经接触过一些函数的基本知识，比如线性函数、二次函数等。这些函数的特点是它们的图象通常是一条曲线或一条直线。那么，如何通过这些函数的图象来更好地理解函数的性质呢？今天，我们将通过一系列实践活动来探索函数图象的平移、对称等性质，从而加深对函数图象的理解。首先，让我们回顾一下函数的基本定义：函数是指一种确定性的映射关系，即对于每一个自变量值，都有唯一的因变量值与之对应。接下来，我们将通过具体实例来观察和分析函数图象的变化规律。

在进入今天的学习内容之前，我们先来回顾一下函数的基本性质。一个函数的图象可以反映出函数的增减性、奇偶性以及周期性等重要特征。例如，线性函数的图象是一条直线，其斜率代表了函数的增减速度；二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向和顶点位置揭示了函数的对称性和最值。为了更好地理解这些性质，我们需要通过观察函数图象的平移和对称来深入挖掘函数的本质。在本节课中，我们将通过具体的实例来学习如何通过函数图象的变换来分析函数的性质。

今天，我们将通过一个简单的实践项目来启动我们的探索之旅。首先，我们将从最基础的线性函数开始，观察当自变量发生变化时，函数图象是如何随之平移的。通过绘制一系列的函数图象，我们可以发现函数图象的平移规律，并学会如何根据函数的定义式来预测图象的移动方向和距离。接下来，我们将进一步探讨函数图象的对称性，研究函数图象关于x轴、y轴以及原点的对称变换，从而了解函数的奇偶性和周期性。通过这些实践活动，我们不仅能够巩固对函数图象的基本认识，还能培养观察、分析和解决问题的能力。现在，让我们准备好纸笔，开始我们的数学之旅吧！

二、探索函数图象的平移

(1)探索函数图象的平移是理解函数性质的关键步骤。我们从最基本的线性函数开始，例如函数y=x。首先，我们观察当函数图象向右平移时，其解析式变为y=(x-a)，其中a是一个正数。通过绘制函数图象，我们可以看到，随着a的增大，图象向右移动的距离也相应增加。这个规律告诉我们，函数图象的平移与自变量x的变化密切相关。

(2)接着，我们转向向下平移的函数图象。以y=x为例，当函数图象向下平移b个单位时，解析式变为y=x-b。通过观察图象，我们发现随着b的增大，图象下移的距离也随之增加。这一现象进一步验证了函数图象的平移规律，即图象的移动方向和距离与平移量成正比。

(3)现在，我们将上述两种平移结合起来，考虑函数图象同时进行水平和垂直平移。以函数y=x为例，如果先向右平移a个单位，再向下平移b个单位，那么新的函数解析式将是y=x-a-b。通过绘制这个组合平移的函数图象，我们可以直观地看到，图象的最终位置是先向右移动a个单位，然后再向下移动b个单位。这个练习有助于我们掌握函数图象平移的复合规律，为后续更复杂的函数变换打下基础。

三、研究函数图象的对称性

(1)函数图象的对称性是函数性质中的重要一环，它反映了函数在坐标系中的几何特性。以二次函数y=x^2为例，这是一个开口向上的抛物线，其图象关于y轴对称。我们可以通过将函数图象上的任意一点(x,y)关于y轴对称的点(-x,y)代入原函数来验证这一性质。例如，点(2,4)在函数图象上，那么其对称点为(-2,4)，同样在图象上。这种对称性使得二次函数在求解方程、确定函数的极值等问题中非常方便。

(2)另一个例子是正弦函数y=sin(x)，这是一个周期性的波形函数。正弦函数图象关于原点对称，这意味着对于任意角度θ，sin(θ)的值等于sin(-θ)。例如，sin(30°)的值是0.5，而sin(-30°)同样也是0.5。这种对称性使得正弦函数在物理学和工程学中有着广泛的应用，特别是在描述振动和波动现象时。

(3)在研究函数图象的对称性时，我们还可以考虑函数的奇偶性。以奇函数y=x^3为例，它的图象关于原点对称，即f(-x)=-f(x)。这意味着如果我们在函数图象上找到一点(x,y)，那么其对称点(-x,-y)同样在图象上。例如，点(1,1)和点(-1,-1)都是奇函数图象上的点。奇函数在数学建模和解决实际问题时非常有用，尤其是在处理对称性问题。通过这些案例，我们可以看到函数图象的对称性在数学和科学领域中的重要性。

四、总结与拓展

(1)在本节课的学习中，我们深入探索了函数图象的平移和对称性，这两者都是理解函数性质的重要方面。通过对函数图象的平移，我们学会了如何根据函数的定义式来预测图象的移动方向和距离，这对于解决实际问题非常有帮助。例如，在物理学中，函数图象的平移可以用来描述物体的运动轨迹；在经济学中，它可以用来分析市场趋势的变化。

在研究函