培优点02隐零点问题（2大考点 强化训练）-2025年冲刺958、211名校高考数学重难点培优攻略（新高考专用）（解析版）.docx

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培优点02隐零点问题（2大考点+强化训练）

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型归纳 1

题型01不含参数的隐零点问题 1

题型02含参数的隐零点问题 8

【考情分析】

导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”，既能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题．

【核心题型】

考点一：不含参函数的隐零点问题

规律方法已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，利用零点存在定理，判断零点存在，设方程f′(x)＝0的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0成立，②注意确定x0的合适范围．

【例题1】（2022·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数.

(1)判断函数的单调性；

(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值.

【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；

(2)3.

【分析】（1）求出函数的导数，再解导数大于0或小于0的不等式即可作答.

（2）将不等式等价变形，分离参数并构造函数，再探讨函数的最小值即可推理作答.

【详解】（1）的定义域为，求导得：，

令，则，令，则，

所以在上单调递增，在上单调递减.

（2），，

令，，则，

由（1）知，在上单调递增，且，

则在区间内存在唯一的零点，使，即，

则当时，，，有在上单调递减，

当时，，，在上单调递增，

于是得，因此，，

所以整数的最大值为3.

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.

【变式1】（2020·湖南·三模）已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）判断在上的零点的个数，并说明理由.（提示：）

【答案】（1）的单调递增区间是和，单调递减区间是.（2）在上的零点的个数为1.理由见解析

【分析】（1）令导数，解出方程后，结合函数的定义域，探究随的变化，即可求出函数的单调区间.

（2）结合函数的单调性可判断出函数在上无零点，又由，结合函数在上的单调性及零点存在定理，可判断出在上的零点的个数.

【详解】解：（1）由题意知，的定义域为0,+∞，则令，

解得或，当或时，，则此时单调递增；

当时，，则此时单调递减.

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.

（2）由函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，，故在上无零点；

又，

当时，因为，

又在上单调递增，所以在上仅有一个零点.

综上，在上的零点的个数为1.

【点睛】本题考查了函数单调性区间的求解，考查了函数零点个数的判断.本题的难点在于第二问中，需要结合函数的单调性、零点存在定理进行判断.求解函数的单调性时，可结合函数的图像、导数、函数的性质等进行判断.

【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数．

(1)证明：当时，；

(2)求在区间上的零点个数．

【答案】(1)证明见解析

(2)2个

【分析】（1）由题意结合要证明的不等式，构造函数，利用导数判断其单调性，证明，即可证明结论；

（2）讨论和两种情况，当时，结合题意构造函数，判断函数的单调性，结合零点存在定理判断函数的零点个数，综合即可求得答案.

【详解】（1）设，则．

设，

则，

因为在上单调递增，所以，

又因为当时，，所以，

所以在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，所以，

所以当时，．

（2），当时，f′x≥0，所以在上单调递增，

因为，所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点．

当时，令，则，

当时，有?′x0，所以?x

又因为，所以存在使得，

当时，，所以在上单调递增，

所以当时，故在上无零点，

当时，，所以在上单调递减，

又，所以在上有且仅有一个零点．

综上所述：在上有且只有2个零点．

【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及利用导数求函数最值、证明不等式以及函数的零点问题，解答的难点在于函数零点的判断，解答时要能结合题设，恰当地构造函数，判断函数单调性，进而判断函数零点.

【变式3】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知.

(1)若，证明：存在唯一零点；

(2)当时，讨论零点个数.

【答案】(1)证明见详解

(2)有2个零点

【分析】（1）利用导函数研究函数在上的单调性，进而根据零点存在性定理证明即可；

（2）分类讨论，利用导函数研究单调性，根据零点存在性定理求解即可.

【详解】（1）由题意，，

则，

由于，所以，则，又，所以，

进而，所以在上单调递减，

又，，

根据零点存在性定理可知：函数在上存在唯一零点.

（2），，则，，

当时，因为，

所以，

此时单调递减，，

所以在上没有零点，

当时，令，

则，

所以f′x在上单调递增，又，

故当时，f′x0