命题改革新高考 曲线方程开新篇.docx

命题改革新高考曲线方程开新篇

2024年高考数学新课标Ⅰ卷第11题是一道曲线与方程问题，

试题是这样的：造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.

已知C过坐标原点O.且C上的点满足横坐标大于-2，到点F（2，0）的距离与到定直线x=a（a0）的距离之积为4，则（）

A.a=-2

B.点（22，0）在C上.

C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1.

D.当点（x0，y0）在C上时，y0≤4x0+2.

这是一道多选题，我们先看看他的求解：对于A，设曲线上的动点P（x，y），则x-2且（x-2）2+y2×|x-a|=4，因为曲线过坐标原点，故（0-2）2+02×|0-a|=4，解得a=-2，故A正确.对于B，又曲线方程为（x-2）2+y2×|x+2|=4，而x-2，故（x-2）2+y2×（x+2）=4.当x=22，y=0时，（22-2）2×（22+2）=8-4=4，故（22，0）在曲线上，故B正确.对于C，由曲线的方程可得y2=16（x+2）2-（x-2）2，取x=32，则y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×40，故此时y21，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D，当点（x0，y0）在曲线上时，由C的分析可得y20=16（x0+2）2-（x0-2）2≤16（x0+2）2，故-4x0+2≤y0≤4x0+2，故D正确.

于是正确答案：ABD.

对于曲线与方程，我们只是熟悉基础知识与基本概念，真正涉及到的具体内容是：直线、圆、椭圆、双曲线与抛物线，都是一些规范曲线及规范方程.通过方程探讨曲线或借助曲线来分析方程，一般情况下也仅限以上几种形式，高考这种设计显然是开辟了曲线与方程命题的新思路，对这一知识点来说在命题上开了新篇章，曲线不一定是规范曲线，方程也不一定是规范方程，显然，难度加大了很多.那么，这一知识块从以后的高考复习角度我们该如何应对呢？下面我们谈一下常规的三种处理模式.

一、画曲线，通过曲线产生结论

例1（多选题）已知曲线E：x|x|4+y|y|8=1，则下列结论正确的是（）

A.y随着x增大而减小

B.曲线E的横坐标取值范围为［-2，2］

C.曲线E与直线y=-1.4x相交，且交点在第二象限

D.M（x0，y0）是曲线E上任意一点，则|2x0+y0|的取值范围为（0，4］

解析（1）由题设得：当x≥0，y≥0时，曲线E：x24+y28=1，曲线为焦点在y轴的椭圆在第一象限的部分，

当x≥0，y0时，曲线E：x24-y28=1，曲线为焦点在x轴的双曲线在第四象限的部分，

当x0，y0时，曲线E：-x24-y28=1，不成立，

当x0，y≥0时，曲线E：-x24+y28=1，曲线为焦点在y轴的双曲线在第二象限的部分，其图像如下页图所示：

对于AB，由图像及椭圆、双曲线的几何性质可得y随着x增大而减小，曲线E的横坐标取值范围为R，故A正确，B错误；

对于C，由于y=-2x是双曲线x24-y28=1（x≥0，y0）和y28-x24=1（x0，y≥0）的渐近线，又因为-2-1.4，所以直线y=-1.4x与x24-y28=1（x≥0，y0）相交，交点在第四象限，直线y=-1.4x与x24+y28=1（x≥0，y≥0），y28-x24=1（x0，y≥0）均无交点，故C错误；

对于D，曲线E上的点M（x0，y0），到直线2x+y=0距离为d=|2x0+y0|2+1，

所以|2x0+y0|的几何意义为点M到直线2x+y=0距离的3倍，因为直线2x+y=0为双曲线x24-y28=1（x≥0，y0）和y28-x24=1（x0，y≥0）的渐近线，所以d0，设直线l：2x+y+c=0（c0）与x24+y28=1（x≥0，y≥0）相切，联立方程2x+y+c=0，2x2+y2=8，消去y，得4x2+22cy+c2-8=0，则Δ=8c2-16（c2-8）=0，解得c=-4，所以直线l：2x+y-4=0，则dmax=|-4-0|2+1=43，即0d≤43，则03d≤4，即0|2x0+y0|≤4，故D正确.故选：AD.

例2（多选题）已知曲线E上的点P（x，y）满足方程x|x-1|+y|y-1|=0，则下列结论中正确的是（）

A.x∈-1，2时，曲线E长度为22+2π2

B.x∈-1，2时，y-1x+2最大值为1，最小值为-12

C.曲线E与x轴、y轴所围成的封闭图形的面积和为π4-12

D.若平行于x轴的直线与曲线E交于A，B，C三个不同的点，其横坐标分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（2，32+22）

解析对于方程x|x-1|+y|y-1|=0，

①当x≤1，y≤1时，方程变为x-x2+y-y2=0，即（x-12）2+（y-12）2=12，所以点P在圆（