《复变函数与积分变换》第二版 答案（最全）.doc

第一篇复变函数

第1章复数与复变函数

1.1内容要点

1、复数的各种表示法代数表示法：z=x+iy.

三角表示法；=r(cost+isinθ).指数表示法：z=re

2.复数的代数运算及几何意义

复数的加减法：z?±z?=(x?±x?)+i(yi±y?).

复数的乘法：z?z?=(xrx?-y?y?)+i(xiy?+x?y?).

复数的除法：(z?≠0)、

定理1两个复数乘积的模等于它们模的乘积；两个复数乘积的辐角等于它们辐角的和.

定理2两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的辐角等于被除数与除数的辐角差.

3.扩充复平面、平面点集

4.复变函数的概念及其几何意义

定义1设D是一个给定的复数集，如果有一法则f,对于每一个数∈D,总有确定的复数w和它对应.则称f是D上确定的复变数函数(简称复变函数),记作w=f(z).数集D叫做这个函数的定义域.

5.初等函数的定义及性质

1.2教学要求和学习注意点1.教学要求

·I·

牢固掌握复数的各种表示方法及其运算，了解区域的概念，理解复变函数的概念，了解指数函数、对数函数、幂函数和三角函数的定义及它们的主要性质，

重点：复数的运算，复变函数的概念.难点：初等函数中的多值函数的理解.

2.学习注意点

(1)下面的证明过程错在何处?

题目：证明若z?2223=0,则z?,Z?,z?中至少有一个为零.证：设zx=re(k=1,2,3),则

21Z?Z?=TIT?r?e1?+?+6?)=0.∴r?,r?,r?中至少有一个为零，

∴z?,22,z?中至少有一个为零.

答：证明过程的设是错误的，当z=0时，z不具有指数表达式，正确的证明为：

若z?≠0,则

若z≠0,则

故z?,22,z?中至少有一个为0.

(2)下面的解题过程错在何处?

题目：求的全部单根，

答：此解题过程在第二步到第三步的推导时出错了，正确的是：

在复数范围内

在实数范围内

(k=0,1,2).

(3)下面的解题过程错在何处?

题目：设z?=-1+√3i,z?=-1+i.求argz?Z?.

解：Argz?z?=Argz?+Argz?

·2·

答：∵-πargzeZ?≤π,

∴arg是错误的.

正确答案：由,得

(b)Lni2≠2Lni.

证：(a)∵

(h=0,±1,±2.…);

i(k=0,±1,±2,…).

(b):Lni2=Ln(-1)=(2h+1)πi,

∴Lni2≠2Lni.

1.3释疑解难

1.复方程az2+bz+c=0(a≠0)的求根公式

4ac为什么要求不等于0.

答：因为关于复数方根(即w=z)的定义中要求w≠0,若z=0必有w=0.而√b2-4ac为复数方根的形式，因此公式中b2-4ac≠0.

事实上，因为

az2+bz+c=0,

所以

若b2-4ac=0,则

·3

,那么

lni2=2lni;

(b)若Inz=Inr+iθ,那么

ini2≠2lm.

证：(a)∵lni2=In(-1)=πi,Ini2=2lni.

(b)∵1ni2=In(-1)=πi.

∴Ini2≠2lni.

由(a)、(b)可知，辐角主值的定义范围可由复平面上原点引出的任一条射线为起始边、终边来划分，随之相关的性质也可能发生变化，

3.证明：对任何非零复数z?和z?

In(z?zz)=Inz?+Ina?+2kπi(k=0,±1).

证：因为当Re(z?)0,Re(z?)0时，

In(z122)=Inz?+Inz?+2kπi(k=0).当Re(z?)0或Re(z)0时，

lnlz?z?I=Inlzl+Inlz?l,

In(z?z2)=Inz+Inz2+2hπi(h=0,±1).当Re(z?)0且Re(z?)0时，

Inlz?zzl=Inlz?1+Inlz?I,

In(zz?)=Inz?+Inz?+2kπi(k=0,±1).综上所述，对任何非零复数z?和z?都有

In(zz?)=Inz?+Inz?+2kπi(k=0,±1).

4.求证：三个复数z,22,z?成为等边三角形顶点的必要与充分条件是：

z2+z+z3=z?z?+2223+23年1

证：三角形z?2z?是等边三角形的必要与充分条件为：向量z1z2绕z?旋转·