人教A版（2019）高中数学必修第二册6.4.3余弦、正弦定理_第四课时【课件】.pptx

6.4.3余弦定理、正弦定理（4）

高中数学1学习目标借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理.掌握正弦定理的特点，掌握正弦定理的基本作用.在推导正弦定理的过程中，体会方程思想、特殊到一般思想的应用，感受数学美.

高中数学学习重点与难点1学习重点：正弦定理及其推导过程.学习难点：正弦定理的推导过程.

高中数学cbCBABCabc情境引入余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.A222a ?b ?c ?2bccosAa=?2bcb2 ?c2 ?a2cosA?

高中数学baBAaCBA情境引入如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？C在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A,B,a,b之间的定量关系．在△ABC中，已知A，B，a，求b．b=?

高中数学c c有sinA?a,sinB?b.显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立．观察发现，它们有一个共同元素c，利用它把两个式子联系起来，可得a bsinA sinB ? ?c.情境引入我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手．根据锐角三角函数，在Rt△ABC中，

高中数学absinA sinB?又因为sinC?sin90??1，所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即a bcsinA sinB sinC? ? ．对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？形成猜想?c

高中数学证明猜想暂停播放 a ???b .sinA sinBDbABCa如图，在锐角△ABC中，CD?a?sinB?b?sinA,同理，b csinB sinC?.所以，a bcsinA sinB sinC? ? .钝角三角形中，请同学们课下给出证明.

高中数学证明猜想我们换个角度来思考，因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究．我们希望获得△ABC中的边a,b,c与它们所对角A,B,C的正弦之间的关系式．在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究．向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦．如何实现转化？

高中数学由诱导公式cos(π??)?sin?可知，我们可以通过构造角????2之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系．下面先研究锐角三角形的情形．如图，在锐角△ABC中，过点A作与AC垂直的单位向量j，则j与AB的夹角为π2???? ???A，j与CB的夹角2为π?C.证明猜想暂停播放j

高中数学??????? ????因为AC?CB?AB，所以j? ???? ??? ????(AC?CB)? j?AB.j???? ??? ???2 22所以 AC?j?CB? j?AB.所以j????? π? j????ACcos CBcos(π?C)? j?????ABcos(π?A).整理得a?sinC?c?sinA.a c所以 ? .sinA sinC ???同理，过点C作与CB垂直的单位向量m，可得b csinB sinC? .证明猜想

高中数学因此abcsinA sinB sinC? ? .证明猜想????当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角，如图．过点A作与AC垂直的单位向量j，则π2???? ???，j与CB的夹角为2j与AB的夹角为A?π?C.仿照上述方法，同样可得abcsinAsinBsinC??.j

高中数学综上，我们得到下面的定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a bcsinA sinB sinC? ? .形成定理这个公式表达形式的统一性、对称性，不仅使结果更和谐优美，而且更突显了三角形边角关系的本质．以上我们利用向量方法获得了正弦定理．事实上，探索和证明正弦定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加简洁．你还能想到其他方法吗？

高中数学认识定理正弦定理a bcsinA sinB sinC? ?定理的结构特点；正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系．

高中数学3.定理的基本作用：作用一：已知两边及一边所对的角，求角；如图，利用a bsinA sinB? ，可求出A.aCBAb认识定理

高中数学3.定理的基本作用：作用二：已知两角及一边，求边.