人教A版（2019）高中数学必修第二册6.4.3余弦、正弦定理_第五课时【课件】.pptx

6.4.3余弦定理、正弦定理（5）

高中数学1学习目标能根据已知条件画出草图，理解三角形中的边角联系.掌握三角形面积公式及正弦定理的基本作用，利用正弦定理解决问题.能从三角形的边与角这两个角度入手，利用正弦定理处理相关问题.在利用正弦定理解决问题的过程中，有利用方程思想解决问题的意识，学会分析问题与解决问题.

高中数学1学习重点与难点学习重点:掌握三角形面积公式，利用正弦定理解决解三角形中的问题.学习难点:在利用正弦定理解决问题的过程中，如何判断三角形解的个数.

高中数学知识回顾正弦定理：a bcsinA sinB sinC??.作用一：已知两边及一边所对的角，求角；作用二：已知两角及一边，求边.aCAbBCA cA=？ Ba=？b=？

高中数学a bcsinA sinB sinC? ? ??这个比值有没有几何意义呢？提出问题同学们在学习正弦定理的过程中，想没想过这个问题：我们该如何来探究这个问题呢？可以先来考虑直角三角形.在Rt△ ABC中，a bcsinA sinB sinC? ? ?c.这个比值c有没有几何意义呢？当然，c是Rt△ABC的斜边长，c还可表示什么呢？很容易联想到，c是Rt△ABC外接圆的直径.

高中数学形成猜想猜想：在△ ABC中，abcsinA sinB sinC? ? ?2R（其中R是△ ABC外接圆的半径）？我们可以用特殊的等边三角形再进行验证，发现这个结论依然成立.bcsinA sinB sinC猜想：在△ ABC中， a ???2R.（其中R是△ ABC外接圆的半径）CbcBAa

高中数学CbcBAaR证明猜想bcsinAsinBsinC证明：在△ ABC中， a ???2R（. 其中R是△ ABC外接圆的半径）分析已知条件和问题.建立条件与问题之间的联系.作出示意图.bacRRABCO

高中数学证明猜想证明：在△ AOB中，AB?c,OA?OB?R,?AOB?2C，所以c2?R2?R2?2R?R?cos2C.所以c2?2R2?2R2?(1?2sin2C).所以c2?4R2sin2C.又因为c,R?0，所以c?2RsinC.即c?2R.同理，可证asinCb??2R.所以asinA sinBb csinAsinBsinC???2R.bacRRABCO

高中数学形成结论重要结论：在△ ABC中，abcsinA sinB sinC? ??2R.（其中R是△ ABC外接圆的半径）重要变形：a?2R?sinA，b?2R?sinB，c?2R?sinC.

高中数学在初中的学习中，遇到三角形的问题时我们经常需要求三角形的面积.那么，能否用三角形边和角的正弦表示三角形的面积呢？aABcbC新知学习?ABCS ?1AB?CD?1c?bsinA?1bc?sinA．2 2 22 2?ABC同理，易得S ?1ac?sinB?1ab?sinC．?ABCCbBA caDS ?1bc?sinA?1ac?sinB?1ab?sinC．三角形面积公式2 2 2

高中数学例题讲解C=？a=？A=？根据问题与条件，设计解题思路，选择运算公式.这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理．2,c?2，解这个三角形并求例1：在△ ABC中，已知B?30?,b?△ ABC的面积．分析与解：画出示意图.标出已知条件.

高中数学例题讲解解：由正弦定理sinB sinCb c 2 2sinCsin30?? 得， ? ．2所以sinC?2.因为c?b,B?30?，所以30??C?180?.所以C?45?或C?135?.为什么角C有两个值？例1：在△ ABC中，已知B?30?,b? 2,c?2，解这个三角形并求△ ABC的面积．

高中数学例题讲解（1）当C?45?时，A?105?.由absinAsinB?得a?bsinA? 2sin105?? 2sin(60??45?)sinB sin30? sin30?2(sin60?cos45??cos60?sin45?)?sin30?3 212?2( ? ?1? 2)2 2 2 2 ?3?1.45°a=？A 30° c=2 Bb= 2C2此时，S?ABC