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勾股定理经典题目及答案

一、题目描述

(1)在古希腊的数学经典著作《几何原本》中，勾股定理被誉为数学史上的一颗璀璨明珠。该定理描述了直角三角形三边之间的一种特殊关系，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。这一原理不仅为后续的几何学发展奠定了基础，而且在日常生活、工程建设和科学研究等领域都有着广泛的应用。例如，在建筑设计中，勾股定理可以帮助工程师准确计算斜坡的倾斜度；在物理实验中，它又能够帮助我们测量物体在不同方向上的运动速度。

(2)假设我们有一个直角三角形，其中两条直角边分别为3cm和4cm，我们需要求出斜边的长度。根据勾股定理，我们可以列出方程式32+42=斜边2。通过计算，我们得到斜边的长度为5cm。这个例子展示了勾股定理在解决实际问题中的简便性和有效性。在实际生活中，类似的例子还有很多，比如测量不规则物体的尺寸、确定建筑物的高度等。

(3)在我国古代，勾股定理也有着悠久的历史。相传早在春秋时期，我国著名数学家商高就提出了勾股定理，并给出了著名的“商高定理”。在《周髀算经》中，记载了这样一个问题：在一个直角三角形中，如果两条直角边的长度分别为3尺和4尺，求斜边的长度。根据勾股定理，我们可以计算出斜边长度为5尺。这一计算方法不仅为我国古代的数学发展做出了重要贡献，也体现了我国古代数学家在解决实际问题时的智慧和才能。

二、解题思路

(1)解决勾股定理问题时，首先要识别题目中给出的直角三角形，并明确直角边的长度。例如，在题目中给出一个直角三角形的直角边分别为5cm和12cm，我们的目标是求出斜边的长度。解题的第一步就是确定这两个数，即5和12。

(2)接下来，根据勾股定理，我们将这两个直角边的长度分别平方，然后相加。在这个例子中，我们计算52和122，分别得到25和144。然后，我们将这两个结果相加，得到169。这就是斜边长度的平方。

(3)最后一步是求斜边的实际长度。这可以通过取169的平方根来完成。使用计算器或手算，我们可以得到斜边的长度大约为13cm。这个结果符合勾股定理的预期，即直角三角形的两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。通过这种方法，我们可以解决各种涉及勾股定理的问题，无论题目中给出的具体数值如何。

三、详细解答

(1)考虑一个直角三角形，其中直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。根据勾股定理，我们知道直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2。为了解出未知边长，我们可以通过以下步骤进行计算。首先，识别题目中给出的直角边长度，例如a=5cm和b=12cm。然后，将这两个长度值分别平方，得到25cm2和144cm2。接着，将这两个平方值相加，得到169cm2。最后，求出169cm2的平方根，得到斜边长度c，约为13cm。这样，我们就成功地应用勾股定理解决了这个问题。

(2)在实际应用中，勾股定理的解题过程可能会更加复杂。例如，假设我们有一个实际问题，需要测量一块不规则地形的面积。我们可以通过在地块上建立一个直角坐标系，并测量出两个相邻边的长度。如果这两条边与地形的边界线垂直，那么我们可以直接使用这两个长度值来计算地块的面积。但是，如果这两条边不垂直，我们需要找到一条与它们垂直的第三条边，并利用勾股定理来计算这个未知边的长度。一旦我们得到了三条边的长度，我们就可以使用多边形面积公式来计算整个地块的面积。

(3)在解决勾股定理问题时，还可能遇到一些特殊的情况。例如，如果直角三角形的两条直角边长度相等，那么这个三角形是一个等腰直角三角形。在这种情况下，斜边长度可以通过将直角边长度乘以根号2来计算。假设直角边长度为x，那么斜边长度为x√2。此外，如果题目中给出了斜边长度和一条直角边长度，我们可以通过将斜边长度平方减去直角边长度平方，然后除以2来计算另一条直角边的长度。这些特殊情况的解决方法都需要我们熟练掌握勾股定理的公式和应用，以便在各种实际问题中灵活运用。

四、答案

(1)基于勾股定理，我们可以得出直角三角形边长的计算方法。假设直角三角形的两个直角边长度分别为a和b，斜边长度为c。根据勾股定理，我们有公式a2+b2=c2。以一个具体的例子来说明，如果题目中给出的直角边长度分别为3cm和4cm，我们可以将这两个值代入公式中进行计算。首先，计算3cm的平方，得到9cm2；然后，计算4cm的平方，得到16cm2。将这两个平方值相加，得到25cm2。最后，求出25cm2的平方根，得到斜边长度c，约为5cm。因此，这个直角三角形的斜边长度是5cm。

(2)在解决实际问题中，勾股定理的应用非常广泛。比如，在建筑设计中，勾股定理可以帮助工程师计算斜坡的倾斜度。假设我们需要建造一个斜坡，其倾斜角度为30度，并且知道斜坡的垂直高度为10米。通过使用勾股定理，我们