考点54圆锥曲线中求值与证明问题（2种核心题型 基础保分练 综合提升练 拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲练 易错重难点专项突破（新高考版）解析版.docx

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考点54圆锥曲线中求值与证明问题

（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

【核心题型】

题型一求值问题

求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解

【例题1】（2024·陕西商洛·一模）已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（???）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】联立抛物线与直线方程可得，，进而可得，由可得，进而可得的值.

【详解】如图所示，

设Ax1,y1，B

则，解得且，

，，

所以，

因为，所以，即，解得．

故选：C.

【变式1】（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中.则直线MN必过一定点的坐标为（????）

??

A．1,0 B．

C． D．0,1

【答案】A

【分析】通过联立方程组求得两点的坐标，进而确定定点的坐标.

【详解】依题意得，

直线的方程为，

由消去并化简得，

，

则，

所以.

直线的方程为，

由消去并化简得，

，

所以，

所以.

若，即，

即，即，

，则，所以，

此时直线过点1,0.

若，依题意，

所以直线的方程为，

，

，

所以直线过点1,0，

综上所述，直线过定点1,0.

故选：A

【变式2】（2024·四川德阳·模拟预测）过点作直线交椭圆于，两点，其中在线段上，则的取值范围为.

【答案】

【分析】若直线的斜率存在，设，，，可得，由可得范围，结合，计算的范围，再计算直线的斜率不存在时的值，即可求解.

【详解】若直线的斜率存在，设，，，

所以，

由，消去可得，

，即，

又，

所以，

令，则，由，得，

解得，即，解之得且，

又在线段上，所以，所以，

若直线的斜率不存在，易得，

综上的取值范围为．

故答案为：.

【变式3】（2024·贵州黔南·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆经过点.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线的倾斜角为90°，求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用椭圆的定义求出，进而求出得的标准方程.

（2）根据已知可得直线不垂直于坐标轴，设其方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理求出直线与轴交点的横坐标即可.

【详解】（1）椭圆的二焦点为，，点在椭圆上，

则，解得，则，

所以椭圆的标准方程为.

（2）依题意，点不在轴上，即直线不垂直于轴，且直线不垂直于轴，否则重合，

设直线方程为，，

由消去得，，

显然，设，由直线的倾斜角为90°，得点，

则，所以，

直线的方程为，

当时，，

所以.

题型二证明问题

圆锥曲线证明问题的类型及求解策略

(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．

(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．

【例题2】（2024·河南郑州·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点．

(1)求抛物线的方程；

(2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；

②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为．

【答案】(1)

(2)①；②证明见解析

【分析】（1）由化简得，再根据定义得，代入即可的抛物线方程；

（2）①设切点坐标为，通过导数求出切线方程，将点代入即可；②设直线的方程为，，，联立得，，然后计算即可.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

所以，

又P是C上一点，

所以，

所以，解得，

所以抛物线C的方程为．

（2）①设切点坐标为，

因为，所以，切线的斜率为，

所以切线方程为，

将代入上式，得，

所以，

所以切点坐标为．????

②由①得，直线的斜率都存在，

要证：直线的倾斜角之和为，

只要证明：直线的斜率之和为．????

设直线的方程为，，，,

则，，????

由得，

所以，，，即，????

所以，

即直线的倾斜角之和为．

??

【变式1】（2024·福建福州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求的方程；

(2)直线交于两点.

（i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值；

（ii）若上存在点使得在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)（i）证明见解析；（ii）

【分析】（1）根据椭圆离心率为，且过点可得；

（2）（i）由点差法可得，进而有；

（ii）联立可得，故由