培优点03同构函数问题（2大考点 强化训练）-2025年冲刺958、211名校高考数学重难点培优攻略（新高考专用）（解析版）.docx

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培优点03同构函数问题（2大考点+强化训练）

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型归纳 1

题型01双变量同构问题 1

题型02指对同构问题 10

1.指对同构与恒成立问题 15

2.指对同构与证明不等式 15

【考情分析】

同构函数问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维．同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有双变量同构和指对同构，一般都是压轴题，难度较大

【核心题型】

考点一：双变量同构问题

规律方法含有地位相等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题．

【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知函数．

(1)若曲线在处的切线方程为，求实数a，b的值；

(2)若，对任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范围．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义结合给定切线求解即得.

（2）对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再利用导数求解即得.

【详解】（1）函数的定义域为，求导得，

由曲线在处的切线方程为，得，解得，，

所以，.

（2）当时，函数，求导得，

当时，，即函数在上单调递减，

不妨设，则，，

不等式恒成立，即恒成立，

则恒成立，设，

于是，恒成立

则在上单调递增，于是在上恒成立，

即在上恒成立，，当且仅当时取等号，因此，

所以m的取值范围为

【变式1】（2024·四川·模拟预测）已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)设函数有两个不同的极值点，.证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）当时，求导求出切线的斜率，再求出，利用点斜式得到切线方程，再化简为一般方程即可；

（2）由题意可得函数有两个极值点，，即求导后分子在上有两个不等实根，再构造函数，只需故，得到的范围，然后代入，再构造函数，求导分析单调性求极值即可证明；

【详解】（1）当时，，

，，

则切线方程为，化简得.

（2）证明：由题，

函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，

令，只需故，故.

又，，

所以

.

若证，

即证，即.

令，，

，则在上递增，且有，

当时，，所以在上递减；

当时，，所以在上递增；

所以，.

即得证.

【点睛】关键点点睛：第二问关键在于函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，然后利用韦达定理化简得到，再构造函数分析单调性即可.

【变式2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数.

(1)设函数，讨论的单调性；

(2)设分别为的极大值点和极小值点，证明：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论来求得的单调区间.

（2）由极值点的知识求得的关系式，由此将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立.

【详解】（1），

，

当时，在上恒成立，则在上单调递增，

当时，单调递减，

单调递增，

综上，当时，在上单调递增，

当时，在上单调递减，在上单调递增；

（2）分别是的极大值点和极小值点，

，且对于有，

且对称轴，所以，

，

所以，

综上，要证，

只需证，

因为，

即证：，

设.

所以，

所以在上单调递增，所以.

所以成立.

【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.利用导数证明不等式，首先考虑将要证明的不等式进行转化，转化为可构造函数并能利用导数进行证明的结构，从而来对问题进行求解.

【变式3】（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数.

(1)当时，求函数的单调递增区间；

(2)当，时，关于的不等式恒成立，求实数的最大值.

(3)设点Ax1,y1、Bx

【答案】(1)和；

(2)；

(3)证明见解析.

【分析】（1）将函数求导后解即可得的单调递增区间；

（2）法一：对参数进行分类讨论，当时易得不等式恒成立，当时，通过原不等式构造函数，将不等式恒成立问题转化为最值问题求解；

法二：通过将原不等式同构变形，构造新函数，通过新函数的单调性求出使得原不等式成立时的最大值；

（3）将，代入不等式后化简，最终通过不等式同构变形构造新函数，对新函数求导求出单调性，进而证明不等式.

【详解】（1）函数的定义域为，

，

令，可得或，因为，则.

由f′x0，可得或

则的单调递增区间为和1,+∞；

（2）法一：当时，，即在上恒成立.

①当