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倍长中线模型巩固练习(提优)-冲刺2025年中考几何专项复习(解析版)_图文
第一章倍长中线模型基础理论回顾
(1)倍长中线模型是几何学中一个重要的工具，它主要应用于解决与三角形、四边形以及圆相关的几何问题。该模型的核心思想是通过对图形中的线段进行倍长，从而构造出新的几何关系，便于我们利用已知条件求解未知量。例如，在求解某些特定角的度数或者线段的长度时，倍长中线模型可以有效地简化问题，提高解题效率。
(2)在倍长中线模型中，常见的操作包括作三角形的中线、高线、角平分线以及切线等。这些操作不仅可以帮助我们构造出新的线段，还可以利用三角形全等、相似以及圆的性质来解决问题。例如，通过作三角形的中线，可以将三角形分为两个面积相等的小三角形，从而利用面积公式来求解线段的长度。
(3)倍长中线模型的应用范围广泛，不仅适用于中学几何学习，在高等数学以及工程计算等领域也有着重要的应用。在解决实际问题时，我们可以通过以下步骤来应用倍长中线模型：首先，识别问题中的几何图形和已知条件；其次，根据问题需要构造出合适的倍长中线；最后，利用几何性质和公式来求解未知量。通过这样的步骤，我们可以更好地理解和掌握倍长中线模型，提高解决几何问题的能力。
第二章倍长中线模型典型例题解析
(1)例题1：在三角形ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，点E在AB上，且BE=2BD。求证：DE是三角形ABC的中线。
解：作AF⊥BC于点F，连接EF。由于AB=AC，且D是BC的中点，所以BF=DF。又因为BE=2BD，所以BE=2BF。由三角形相似性质，得△ABE∽△ABF，从而AE=AF。由于DE是AE的延长线，所以DE=2AF。因此，F是DE的中点，即DE是三角形ABC的中线。
(2)例题2：在圆O中，弦AB的垂直平分线交圆于点C，弦CD的垂直平分线交圆于点E。求证：AB=CE。
解：设AB的中点为M，CD的中点为N。由于MN是AB和CD的垂直平分线，所以MN⊥AB，MN⊥CD。连接OM和ON。由于OM=ON（圆心到弦的垂直距离相等），且OM⊥AB，ON⊥CD，所以△OMN是等腰直角三角形。同理，△OEN也是等腰直角三角形。因此，EN=OM。又因为EN=EC（圆周角定理），所以AB=CE。
(3)例题3：在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=CD。若AD=6cm，求三角形ABC的周长。
解：作AE⊥BC于点E。由于AB=AC，所以BE=EC。又因为BD=CD，所以DE=0。因此，AE是BC的垂直平分线，所以BE=EC=DE。在直角三角形ABE中，AE=AD=6cm，AB=AC，所以AB=AC=√(AE^2+BE^2)=√(6^2+3^2)=√45=3√5cm。因此，三角形ABC的周长为AB+BC+AC=2AB+BC=2*3√5+2*3=6√5+6cm。
第三章倍长中线模型冲刺模拟试题及解析
(1)模拟试题1：在等边三角形ABC中，点D是边BC上的一点，且BD=DC。若点E在AB上，满足BE=2BD，求证：AE是三角形ABC的中线。
解题过程：首先，连接AE。由于ABC是等边三角形，所以AB=AC，且∠BAC=60°。又因为BD=DC，所以D是BC的中点，即BD=DC=BC/2。根据题意，BE=2BD，所以BE=2*(BC/2)=BC。因此，△ABE是一个等边三角形，即∠ABE=60°。由于∠BAC=60°，所以∠BAE=∠BAC=60°。因此，∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=180°-60°-60°=60°。这表明AE是∠BAC的平分线，因此AE是三角形ABC的中线。
(2)模拟试题2：在圆O中，弦AB的垂直平分线交圆于点C，弦CD的垂直平分线交圆于点E。若∠ACD=40°，求∠BEC的度数。
解题过程：首先，连接OC和OE。由于OC是弦AB的垂直平分线，OE是弦CD的垂直平分线，所以OC⊥AB，OE⊥CD。由于AB和CD是圆O的弦，根据圆的性质，OC和OE都是圆O的半径。因此，OC=OE。由于∠ACD=40°，且OC=OE，根据圆周角定理，∠BOC=∠COE=2∠ACD=80°。由于OC和OE是半径，且OC=OE，所以△OCE是等边三角形，即∠OCE=∠CEO=60°。因此，∠BEC=∠BOC+∠OCE=80°+60°=140°。
(3)模拟试题3：在直角三角形ABC中，∠C是直角，点D在斜边AB上，且AD=3cm，BD=4cm。若CD的垂直平分线交AB于点E，求三角形ACD的面积。
解题过程：首先，根据勾股定理，AB=√(AD^2+BD^2)=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5cm。由于CD是AB的垂直平分线，所以CD=BD=4cm。因此，三角形ACD是一个直角三角形，其中AC是斜边，
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