利用导数研究不等式的恒成立或有解问题.docx

利用导数研究不等式的恒成立或有解问题

利用导数研究函数的恒成立或有解问题是高考数学中常考常新的热点问题，解决此类问题常涉及到函数与方程、转化与化归、整体换元、数形结合、分类讨论等数学思想方法，往往需要考生综合运用所学数学知识分析问题、解答问题，在此过程中较好地考查了考生逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.下面，我以利用导数研究函数的恒成立或有解问题为例，从程序性知识的角度，给出此基本问题的解题程序，解决考生“怎么做”的实际问题.此外，笔者从近十年的高考真题中选取了若干具有不同函数结构特征的恒成立或有解问题例题，借助例题对不同方法的适用范围和解题思路进行具体地分析和阐述，以使读者更好理解其中含义.

“函数与不等式”是“函数与导数”单元的基本问题之一.针对其中的恒成立或有解问题，本文从函数的图像及结构特征出发，给出“等价转换—构造函数—研究性质”的解题程序，如下图，以此启发考生在遇到恒成立或有解问题时，先观察并分析函数与不等式的结构，根据其结构特征，从直接移项、参变分离、指对变形、放缩简化等方法中选取合适的方法来对函数与不等式进行等价转化，进而构造新的函数，通过对新函数求导，借助导函数的正负研究其单调性、极值、最值等图像与性质，最终得以解决问题.

题型一、含参函数中的恒成立或有解问题

对于一次函数、二次函数、反比例函数，以及简单的指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数，可以结合最值分析法，通过直接移项对函数与不等式进行变形（例如：证明f（x）g（x）恒成立，等价于证明f（x）－g（x）min0恒成立）；对于含参函数，常常可以通过参变分离减少对参数的分类讨论，简化分析求解的过程.

例1．已知函数f（x）=aex+a－x.证明：当a0时，f（x）2lna+32.

思路分析：（直接移项型）先观察f（x）的结构，f（x）的解析式由指数ex以及一次项x组合而成，是简单函数.再观察所要证明的不等式f（x）2lna+32，右边仅含有参数a，不含有变量x，于是，要证明f（x）2lna+32，只需直接移项，证明f（x）min－2lna+320.又因为当a0时，f（x）在－SymboleB@，－lna上单调递减，在－lna，+SymboleB@上单调递增，即f（x）min=f（－lna），代入后构造新函数即可.

解答：要证f（x）2lna+32，即证f（x）－2lna－320.

又因为f（x）min=f－lna=1+a2+lna，故只需证ga=a2－lna－120a0恒成立.

由g′a=2a－1a=2a2－1a可知，当a∈0，22时，g′a0，ga单调递减；

当a∈22，+SymboleB@时，g′a0，ga单调递增.故gamin=g22=ln20，得证.

点评：本题是利用导数证明不等式恒成立问题，函数的解析式在基本初等函数的基础上带上了参数，考查利用导数求函数的单调性及最值，属于较难题.对于此类问题，可以先尝试对目标不等式进行等价转化，依据其形式及结构特点来构造新的目标函数，通过导数研究其单调性、最值等相关性质以v47eR9bqEWVvE6zpPRvfiA==解决问题.

变式1．已知函数f（x）=ex+ax2－x.当x≥0时，f（x）≥12x3+1，求a的取值范围.

思路分析：（参变分离型）先观察f（x）的结构，f（x）的解析式由指数ex以及二次项ax2－x组合而成，且观察恒成立的不等式f（x）≥12x3+1，其右边还含有三次项12x3，是较为复杂的含参不等式.对于“一参一函数”类型的不等式恒成立问题，联想到通过参变分离的方法构造新的无参数的函数以求其最值，使得问题得以简化.此外，也可用“指数找朋友”的方法，将f（x）≥12x3+1等价变形为12x3－ax2+x+1·e－x≤1来进行分析与讨论.

解答：当x=0时，a∈R；当x0时，f（x）≥12x3+1即a≥12x3+x+1－ex·x－2=g（x），则g′（x）=2－xex－12x2－x－1x－3；再令h（x）=ex－12x2－x－1x0，则h′（x）=ex－x－10.

于是，当x∈0，2时，g′（x）0，g（x）单调递增；

当x∈2，+SymboleB@时，g′（x）0，g（x）单调递减.

故g（x）max=g2=7－e24，可得a的取值范围为7－e24，+SymboleB@.

练习1．已知函数f（x）=ax－sinxcos3x，

x∈0，π2.若f（x）sin2x，求a的取值范围.

解答：令g（x）=f（x）－sin2x=ax－sinxcos3x－sin2x，则

g′（x）=a－cos2x+3sin2xcos4x+2cos2x.

令u=cos2x∈0，1，则sin2x=1－u，cos2x=2u－1.令hu=－2u+3u2+4u－2u∈0，1，则h′u=4u3+2u－6u30，hu在0，