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河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、北湖校区

2023-2024学年高一下期末测试

数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为

A． B． C． D．

2．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

3．某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨?西安?兰州?济南?延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为

A． B． C． D．

4．记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是

A．2 B． C． D．4

5．如图，锐二面角α-l-β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝BD＝6，CD＝8，则锐二面角α-l-β的平面角的余弦值是

A． B． C． D．

6．抛掷一枚质地均匀的骰子2次，事件甲为“第一次骰子正面向上的数字是1”，事件乙为“两次骰子正面向上的数字之和是4”，事件丙为“两次骰子正面向上的数字之和是8”，则

A．甲乙互斥 B．乙丙互为对立 C．甲乙相互独立 D．甲丙互斥

7．已知正四棱台的体积为，上、下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

A． B． C． D．

8．如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，

A． B． C．2 D．

二、多选题

9．下列说法中正确的是

A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1

B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是

C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23

D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32

10．已知点，，，平面经过线段的中点，且与直线垂直，下列选项中叙述正确的有

A．线段的长为36

B．点在平面内

C．线段的中点的坐标为

D．直线与平面所成角的正弦值为

11．已知复数在复平面内对应的点分别为，则

A．

B．

C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是

D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是

三、填空题

12.已知平面向量，向量在向量上的投影向量为则=.

13．已知事件与相互独立，，，则．

14．已知四面体中，棱BC，AD所在直线所成的角为，且，，，则四面体体积的最大值是．

四、解答题

15．数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性.苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标.现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中的值并估算样本平均年龄（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）及第78百分位数；

(2)在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，现从这6位中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在内的概率.

16．如图，四边形为矩形，直线垂直于梯形所在的平面.，是线段的中点，，.

(1)求证：平面；

(2)求点到平面的距离.

17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.

(1)求角A；

(2)若△ABC的外接圆的面积为，，求△ABC的面积.

18．如图，在正方体中，已知棱长为4，点E，F分别在，上，.

(1)求异面直线AE和所成角的余弦值;

(2)求直线AE和平面所成角的正弦值；

(3)求平面和平面所成角的余弦值.

19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.

(1)求角A；

(2)已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记.

①当时，设的面积为S，求S的最小值：

②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由.