第09讲 利用导数研究函数的零点问题及方程的根（教师版）.docx

第09讲利用导数研究函数的零点问题及方程的根（6类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2024年新Ⅱ卷，第11题,6分

利用导数研究函数的零点

利用导数研究具体函数单调性

函数对称性的应用

极值与最值的综合应用

判断零点所在的区间

2023年新Ⅱ卷，第22题,12分

利用导数研究函数的零点

利用导数求函数的单调区间(不含参)

利用导数研究不等式恒成立问题

根据极值点求参数

2022年新I卷，第10题,5分

利用导数研究函数的零点

求在曲线上一点处的切线方程(斜率）

求已知函数的极值点

2022年新I卷，第22题,12分

利用导数研究方程的根

由导数求函数的最值(含参)

2021年新Ⅱ卷，第21题,12分

利用导数研究方程的根

求离散型随机查量的均值

均值的实际应用

2021年新Ⅱ卷，第22题,12分

利用导数研究函数的零点

含参分类讨论求函数的单调区间

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分

【备考策略】1能用导数证明函数的单调性

2能结合零点的定义及零点存在性定理解决零点问题

3能结合方程的根的定义用导数解决方程的根的问题

【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习

知识讲解

利用导数研究函数零点的方法

(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法

借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.

(2)数形结合法求解零点

对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.

(3)构造函数法研究函数零点

①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.

②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．

利用导数研究函数方程的根的方法

(1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法

借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围.

(2)数形结合法求解零点（方程的根）

对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.

(3)构造函数法研究函数零点（方程的根）

①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.

②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．

考点一、求函数零点及其个数

1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数.

(1)当时，求的最大值；

(2)讨论函数在区间上零点的个数.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求函数的定义域及导函数，求时方程的解，分区间确定函数的单调性，单调性求最值；

（2）函数的零点，即方程的解，设，利用导数研究函数的性质，讨论，结合图象确定函数的零点个数.

【详解】（1）的定义域是，

，，

当时，，得.

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减

当时，函数取最大值，最大值为；

（2）由，得，

令，则，

由得，

由，得，

在区间上单调递增，在区间上单调递减，

又，，，

作函数的图象如下：

综上：当或时，在上有一个零点，

当时，在上有2个零点，

当或时，在上没有零点.

2．（2024·湖南长沙·三模）已知函数.

(1)求的最小值；

(2)设函数，讨论零点的个数.

【答案】(1)最小值

(2)答案见解析

【分析】（1）先利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的最小值；

（2）令，得，令，则与有相同的零点，利用导数求出函数的极值点，再分类讨论即可得出结论.

【详解】（1）的定义域为，

则当时，；当时，，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

因此的最小值为；

（2），且，

令，得，

令，则与有相同的零点，

且，

令，则，

因为当时，则，所以在区间上单调递增，

又，所以，使，

且当时，，即；当时，，即，

所以在区间