2023年人教版高考数学总复习规范答题系列——立体几何综合问题.pdfVIP

规范答题系列一一立体几何综合问题

典［例］(12分)(2021•新高考I卷)如,在三棱锥A・BCD中,平面ABD_L平面BCD,AB=AD,

。是BD的中点.

(1)证明：0A1CD；

(2)若△0CD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小

为45°,求三棱锥A-BCD的体积.

,导引助思•析考题

(1)看到平面ABD_L平面BCD,想到A0J_BD,利用性质定理将其转化为AO_L平面BCD,即可证

明结论；

(2)看到二面角E・BC・D的大小为45°,想到建立空间直角坐标系，将其转化为两个法向量的

夹角，列方程求AD的长度，进而求三棱锥的体积.

【标准答案】(1)因为AB=AD,0为BD的中点，

所以AO_LBD,

©1分

又平面ABD平面BCD,平面ABDG平面BCD=BD,AOu平面ABD,

所以AOJL平面BCD,②3

分

又CDu平面BCD,所以AO_LCD③4分

⑵取0D的中点F,

因为aOCD为正三角形，所以CF_LOD,④5分

过点0作OM//CF与BC交于点M,则OM±OD,

所以0M,0D,0A两两垂直，

以点0为坐标原点，分别以0M,0D,

0A所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如所示，

则BS,-1,0),C曾,0),D(0,1,0),

(12t

设A[0,0,t),则E10,g,§⑤6分

因为0人，平面BCD,

故平面BCD的一个法向量为漪=(0,0,t),⑥7分

设平面BCE的法向量为〃=(x,y,z),

0一L42t

又觉=像i,BE=10,—

n•瓦?=0除+2。

所以,解得《，令,

4.2t

n・BE=G印+5z=0

则y=-1,z=?，故〃=(m，-L；

⑦9分

因为二面角?叱〃的大小为45°,

\n*OA2

所以|cos/〈?,0A〉

\nOA

解得1=1(%=-1舍去)，所以的=1,⑧10分

1

又SQCD-XIX

乙24

V3

所以S8BC产(§)11分

2

故,S*KV・%x2

,满分点拨•悟考题

命题考查知识：主要考查面面垂直和线面垂直的性质，有关空间角的求解问题等.

探源核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象

阅卷①得到力。1⑸9,得1分.

现场②将已知的面面垂直转化为力0_1平面比巳得2分.若不写“力化平面力助”，或“平

面力即n平面夕。9=为%打1分.

③得出所证，得1分.

④说明血刃，得1分.

⑤建立空间直角