考点56圆锥曲线中定点与定值问题（2种核心题型 基础保分练 综合提升练 拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲练 易错重难点专项突破（新高考版）解析版.docx

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考点56圆锥曲线中定点与定值问题

（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

【核心题型】

题型一定点问题

求解直线或曲线过定点问题的基本思路

(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．

(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．

【例题1】（2024·北京·模拟预测）已知椭圆，的下顶点为，左、右焦点分别为和，离心率为，过的直线与椭圆相交于，两点．若直线垂直于，则的周长为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与坐标轴不垂直，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并说明理由．

【答案】(1)

(2)，理由见详解.

【分析】（1）据题意可知是正三角形，由直线垂直于，可证，由此可知

，，进而得到椭圆方程；

（2）设直线的方程为，，则，得到直线方程，直曲联立，

由韦达定理可得，进而得到，代入直线方程可求出定点.

【详解】（1）由题意可知，

因为离心率为，

所以，

所以，故是正三角形，如图所示：

若直线，则直线垂直平分线段，

所以，

由于的周长为，故的周长为，

由定义可知：，

所以的周长为，故，

所以，故，

所以椭圆的方程：.

（2）由题意可设直线的方程为，，则，如图所示：

可得直线的方程为：，

因为，

将其代入直线方程，可得，

可整理得：，

联立方程得，

则，

所以，即，

将其代入式中，可得直线方程为：，

可见直线过定点，

所以直线过定点，坐标为.

【变式1】（2024·广东·一模）设两点的坐标分别为.直线相交于点，且它们的斜率之积是.设点的轨迹方程为.

(1)求;

(2)不经过点的直线与曲线相交于、两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设点的坐标为，然后表示出直线的斜率，再由它们的斜率之积是，列方程化简可得点的轨迹方程；

（2）设，当直线斜率不存在时，求得直线为0，当直线斜率存在时，设直线，由得，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，代入上式化简可得，从而可求得直线恒过的定点.

【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是，

所以直线的斜率，

同理，直线的斜率，

由已知，有，

化简，得点的轨迹方程为，

即点的轨迹是除去两点的椭圆.

（2）证明：设

①当直线斜率不存在时，可知，

且有，

解得，此时直线为0，

②当直线斜率存在时，设直线，则此时有：

联立直线方程与椭圆方程，

消去可得：，

根据韦达定理可得：，，

所以，

所以，

所以

所以，则或，

当时，则直线恒过点与题意不符，舍去，

故，直线恒过原点，

结合①，②可知，直线恒过原点，原命题得证.

【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中直线过定点问题，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合已知条件求解，考查计算能力，属于较难题

【变式2】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线，过作直线与交于两点，（）．

(1)当时，求的值；

(2)是否存在异于点的定点使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)或

(2)存在，

【分析】（1）设,由并与抛物线方程联立得，结合数量积的坐标表示计算即得.

（2）确定点在轴上，设出直线的方程，，与抛物线方程联立，利用韦达定理及直线斜率和为0即可.

【详解】（1）当时，直线垂直轴，故，所以不合题意，

故，设，由得，即，，

，得，，即，则，

又，得，

故

,

化简得:,则或．

（2）由题意，当时，直线垂直轴，，在轴上，

故若存在定点，则必在轴上，

记直线的斜率分别为，则，????

设，，

联立与得，

所以，????

因为，

即，则，

故存在定点使得．

【变式3】（2024·西藏拉萨·二模）已知抛物线上的两点的横坐标分别为.

(1)求抛物线的方程；

(2)若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.

【答案】(1)

(2)过定点，定点为原点

【分析】（1）设出两点，运用两点间距离公式构造方程求解即可；

（2）过点的直线的方程为，直线的斜率分别为.联立抛物线，运用韦达定理，得到，则，即可证明.

【详解】（1）因为点的横坐标分别为，所以，

则，解得，

所以抛物线的方程为.

（2）由题意，知直线的斜率存在，设，过点