培优点01切线放缩（2大考点 强化训练）-2025年冲刺958、211名校高考数学重难点培优攻略（新高考专用）(解析版).docx

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培优点01切线放缩（2大考点+强化训练）

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型归纳 1

题型01单切线放缩 1

题型02双切线放缩 11

【考情分析】

在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以用切线不等式进行放缩．导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律，更能使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果．

【核心题型】

考点一：单切线放缩

常见的切线放缩：?x∈R都有ex≥x＋1.当x－1时，ln(x＋1)≤x.当x0时，xsinx；当x0时，xsinx.

规律方法该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板.

【例题1】（2024·重庆九龙坡·三模）已知函数，.

(1)当时，函数恒成立，求实数的最大值；

(2)当时，若，且，求证：；

(3)求证：对任意，都有.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）分离参数，函数恒成立，转化为恒成立，令，利用导数讨论的单调性，进而求最值即可求解；

（2）利用导数可得当时，在x∈0,+∞上单调递增，不妨设，要证，只需证即可，结合不等式的特点构造函数，结合导数与单调性关系及函数性质即可证明；

（3）结合（2）中的结论，利用赋值及累加法即可证明.

【详解】（1）当时，恒成立，

即恒成立，只需即可，

令，，则，

令，，则，

当时，恒成立，?x在单调递增，所以，

所以在恒成立，在单调递增，

所以，

所以，即实数的最大值为.

（2）当时，，，

所以，在x∈0,+∞上单调递增，

又f1=0，且，不妨设，

要证，即证明，

因为在x∈0,+∞上单调递增，即证，

因为，即证，

设

，，

令，则，则，，

由可得，在0,1单调递增，

所以，即，

所以成立，所以.

（3）由（2）可知当时，在1,+∞单调递增，且，

由得，即，

令，则，即，

所以，，，…，，

相加得.

【点睛】关键点点睛：考查了导数与单调性关系在恒成立问题，不等式证明中的应用，考查了导数的综合应用，属于难题.

【变式1】（2024·上海松江·二模）已知函数（为常数），记.

(1)若函数在处的切线过原点，求实数的值；

(2)对于正实数，求证：；

(3)当时，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合导数的几何意义，求得切线方程，将原点代入切线方程，即可求解；

（2）设函数，求得，求得函数?x的单调性和最小值为，得到，即可得证；

（3）根据题意，得到，结合，把转化为，设，利用导数求得的单调性和最大值，即可得证.

【详解】（1）解：由题意，函数，且，

可得，则，

所以，又因为，

所以在处的切线方程为，

又因为函数在处的切线过原点，可得，

解得.

（2）解：设函数，

可得，其中，

则，

令?′x0，可得，即，即，解得，

令?′x0，可得，解得

所以?x在上单调递增，在上单调递减，

可得?x的最小值为，所以，

又由，

所以.

（3）解：当时，即证，

由于，所以，只需证，

令，只需证明，

又由，

因为，可得，令，解得；令，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值，也时最大值，所以，

即，即时，不等式恒成立.

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

【变式2】（2022·贵州安顺·模拟预测）已知函数．

(1)讨论函数的导函数的单调性；

(2)若，求证：对，恒成立．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求出导函数，设，求出.分为以及，根据导函数，即可得出函数的单调性；

（2）由已知可将不等式转化为证明恒成立.构造函数，根据导函数得出函数的单调区间，求出函数的极值、最大值，即可得出.即有，变形整理，即可得出证明.

【详解】（1）由已知可得，，设，

则.

当时，有恒成立，所以，即在R上单调递增；

当时，由可得，.

由可得，，所以，即在上单调递减；

由可得，，所以，即在上单调递增.

综