培优点02隐零点问题（2大考点 强化训练）-2025年冲刺958、211名校高考数学重难点培优攻略（新高考专用）（原卷版）.docx

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培优点02隐零点问题（2大考点+强化训练）

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型归纳 1

题型01不含参数的隐零点问题 1

题型02含参数的隐零点问题 3

【考情分析】

导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”，既能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题．

【核心题型】

考点一：不含参函数的隐零点问题

规律方法已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，利用零点存在定理，判断零点存在，设方程f′(x)＝0的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0成立，②注意确定x0的合适范围．

【例题1】（2022·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数.

(1)判断函数的单调性；

(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值.

【变式1】（2020·湖南·三模）已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）判断在上的零点的个数，并说明理由.（提示：）

【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数．

(1)证明：当时，；

(2)求在区间上的零点个数．

【变式3】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知.

(1)若，证明：存在唯一零点；

(2)当时，讨论零点个数.

考点二：含参函数的隐零点问题

规律方法已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；②注意确定x0的合适范围，往往和a的范围有关．

【例题2】（2024·安徽·模拟预测）已知函数．

(1)解不等式：；

(2)若函数存在两个极值点，求实数的取值范围．

【变式1】（2023·海南海口·二模）已知.

(1)若在处取到极值，求的值；

(2)直接写出零点的个数，结论不要求证明；

(3)当时，设函数，证明：函数存在唯一的极小值点且极小值大于.

【变式2】（23-24高三下·重庆）已知函数，其中．

(1)讨论的单调性；

(2)若，求证：在定义域内有两个不同的零点；

(3)若恒成立，求的值．

【变式3】（2024高三下·江苏·专题练习）已知（其中为自然对数的底数），，求实数的取值范围.

【强化训练】

一、解答题

1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知函数．

(1)讨论函数在区间上的单调性；

(2)判断函数零点的个数．

2．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知.

(1)当时，求的单调递增区间；

(2)若有两个极值点，.

（i）求的取值范围；

（ii）证明：.

3．（2024·北京·模拟预测）已知函数，．

(1)若，证明：；

(2)若，求a的取值范围；

(3)若，记，讨论函数的零点个数．

4．（2021·湖北襄阳·模拟预测）已知．

（1）判断的零点个数，并说明理由；

（2）若，求实数a的取值范围．

5．（2023·四川自贡·一模）已知函数，，.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若函数有零点，求a的取值范围.

6．（2023·全国·模拟预测）已知函数.

(1)当时，求的最小值；

(2)设，，证明：有且仅有个零点.（参考数据：，.）

7．（2023·河南·模拟预测）已知函数.

(1)证明：恰有一个零点；

(2)设函数.若至少存在两个极值点，求实数的取值范围.

8．（2023·江西上饶·一模）已知，．

(1)讨论的单调性；

(2)若，，试讨论在内的零点个数．（参考数据：）