培优点03同构函数问题（2大考点 强化训练）-2025年冲刺958、211名校高考数学重难点培优攻略（新高考专用）（原卷版）.docx

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培优点03同构函数问题（2大考点+强化训练）

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型归纳 1

题型01双变量同构问题 1

题型02指对同构问题 10

1.指对同构与恒成立问题 15

2.指对同构与证明不等式 15

【考情分析】

同构函数问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维．同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有双变量同构和指对同构，一般都是压轴题，难度较大

【核心题型】

考点一：双变量同构问题

规律方法含有地位相等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题．

【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知函数．

(1)若曲线在处的切线方程为，求实数a，b的值；

(2)若，对任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范围．

【变式1】（2024·四川·模拟预测）已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)设函数有两个不同的极值点，.证明：.

【变式2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数.

(1)设函数，讨论的单调性；

(2)设分别为的极大值点和极小值点，证明：.

【变式3】（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数.

(1)当时，求函数的单调递增区间；

(2)当，时，关于的不等式恒成立，求实数的最大值.

(3)设点Ax1,y1、Bx

考点二：指对同构问题

规律方法指对同构的常用形式

(1)积型：aea≤blnb，一般有三种同构方式：

①同左构造形式：aea≤lnbelnb，构造函数f(x)＝xex；

②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数f(x)＝xlnx；

③取对构造形式：a＋lna≤lnb＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnb))(b1)，构造函数f(x)＝x＋lnx.

(2)商型：eq\f(ea,a)≤eq\f(b,lnb)，一般有三种同构方式：

①同左构造形式：eq\f(ea,a)≤eq\f(elnb,lnb)，构造函数f(x)＝eq\f(ex,x)；

②同右构造形式：eq\f(ea,lnea)≤eq\f(b,lnb)，构造函数f(x)＝eq\f(x,lnx)；

③取对构造形式：a－lna≤lnb－ln(lnb)(b1)，构造函数f(x)＝x－lnx.

(3)和、差型：ea±ab±lnb，一般有两种同构方式：

①同左构造形式：ea±aelnb±lnb，构造函数f(x)＝ex±x；

②同右构造形式：ea±lneab±lnb，构造函数f(x)＝x±lnx.

考向1：指对同构与恒成立问题

【例题2】（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【变式1】（2022·安徽马鞍山·模拟预测）设实数，对任意实数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）

A． B． C． D．

【变式2】（2023·湖南郴州·三模）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为.

【变式3】（2023·河北保定·三模）若，不等式恒成立，则实数的最小值为.

考向2指对同构与证明不等式

【例题3】（2022高三·全国·专题练习）已知函数.当x＞y＞e－1时，求证：.

【变式1】（2024·四川内江·模拟预测）已知函数.

(1)讨论函数的导函数的零点个数；

(2)若有两个极值点，求证：

（i）；

（ii）.

【变式2】（2023·陕西铜川·一模）已知函数．

(1)若存在零点，求的取值范围；

(2)若，求证：．

【变式3】（2022·四川成都·一模）设函数（）．

(1)求的单调区间；

(2)若的两个零点且，求证：

【强化训练】

一、单选题

1．（24-25高三上·河南焦作）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（????）

A． B． C． D．

2．（2024·河南·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

二、填空题

3．（2020·江苏常州·模拟预测），不等式恒成立，求a的最小值是

4．（2023·江西鹰潭·一模）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为.

三、解答题

5．（2021·山西·一模）已知函数f（x）＝lnx＋ax2－x.

(1)若a＝－1，求函数f（x）的极值；

(2)设f′（x）为f（x）的导函数，若x1，x2是函数f′（x）的两个不相等的零点