多方视角觅思路 推广引申探本质.docx

多方视角觅思路推广引申探本质

2024年的九省适应性联考数学，在题量和分值分布上做了很大的改革，压轴题和次压轴题的难度也有所提高.而次压轴题考查的是直线过定点证明和面积最值的求解，试题思维量及运算量都较大，考生在考场上要想完整解决往往有较大的难度，成为考生的“拦路虎”，我以这道次压轴题为例，谈谈其多解、变式、推广，希望能有所启发.

一、考题呈现

（九省高考适应性联考第18题）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点.

（1）证明：直线MN过定点；

（2）设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值.

分析：利用GGB作出图1，对于（1）小题，采用线参法、点参法、齐次化法可以解决；而（2）小题可以使用函数法、几何法、直线参数方程法、极坐标法等手段破解.试题简洁但内涵丰富，是一道具有研究价值的好题.

二、解法探究

（1）解法1（线参法）：设直线AB：x=ty+1，t≠0，Ay214，y1，By224，y2，M（x0，y0），

N（x′0，y′0），∵x=ty+1，y2=4x，∴y2-4ty-4=0，∴y0=y1+y22=2t，x0=2t2+1，∴M（2t2+1，2t）.∵DE⊥AB，∴kDEkAB=-1，∴N2t2+1，-2t.当t≠±1，kMN=2t+2t/2t2-2t2=tt2-1，∴MN：y=tt2-1（x-2t2-1）+2t=tt2-1x-3tt2-1=tt2-1（x-3），

所以直线MusVHlATZlCfrSzz9w4VGbQ==N恒过（3，0）;当t=±1，显然直线MN：x=3，也过（3，0）.∴MN恒过点（3，0）.

解法2（点参法）：设M（x1，y1），N（x2，y2），∵y2A=4xA①，y2B=4xB②，∴②-①：

yB-yAxB-xA=4yB+yA=2y1，∴kAB=y1x1-1=2y1，kDE=y2x2-1=2y2.又∵AB⊥CD，∴

y1x1-1·2y2=-1③，y2x2-1·2y1=-1④.∴③-④：x1y2-x2y1=3（y2-y1）.而对比直线MN的两点式方程：x1y2-x2y1=x（y2-y1）+y（x1-x2），故x=3，y=0，∴MN过（3，0）.

解法3（齐次化法）：设过焦点F的弦的中点为（x，y），∴2y=yx-1，∴y2=2x-2.设直线MN：m（x-1）+ny=1，∴y2=2x-2=2（x-1）=2（x-1）［m（x-1）+ny］，整理此式可得：y2-2ny（x-1）-2m（x-1）2=0，两边同除以（x-1）2得：yx-12-2nyx-1-2m=0，

kAB·kDE=-2m=-1，∴m=12，∴AB：12（x-1）+ny=1，∴MN恒过（3，0）.

（2）解法1（几何法）：过G作x轴平行线交MN于Q点，则S△GMN=12|xQ-xG||yM-yN|，由上面解法1知，G-1，2（t-1）t+1，M（2t2+1，2t），N2t2+1.-2t，MN：y=tt2-1（x-3），将MN方程与y=2（t-1）t+1联立，解得xQ=2（t-1）t+1·t2-1t+3=2（t-1）2t+3，

∴|xQ-xG|=2（t-1）2t+3+1=2t2+2t，|yM-yN|=2t+2t，∴S△GMN=122t+2t2t2+2t=2t+1t2=2t2+1t2+2≥8，当且仅当t=±1时取等号.

解法2（向量积法）：由上面解法2知，G-1，2（t-1）t+1，M（2t2+1，2t），N2t2+1，-2t，则

GM=2t2+2，2t-2（t-1）t+1=2t2+2，2（t2+1）t+1，

GN=2t2+2，-2t-2（t-1）t+1

=2t2+2，-2（t2+1）t（t+1），

由向量积几何意义知：S△GMN=12GM×GN=12×

（2t2+2）·2（t2+1）-t（t+1）-2t2+2·2（t2+1）t+1=12

4（t2+1）2t2=2t2+2+1t2≥8，t=±1取等号.

点评：解法3采用向量积法可减少运算量，另外已知三角形三顶点面积的行列式法也可处理.

解法3（面积代换法）：利用GGB软件作出图2所示，因M，N为AB，DE的中点，故S△GAD=2S△GMD，S△GAD=2S△GNA，∴S△GAD=S△GMD+S△GNA，∴S△GMN=S△GT1T2+ST1T2NM=ST1T2NM+S△T1DM+S△T2AN=SADMN.而SADMN=

12×|AM|×|DN|=18|AB|×|DE|.∵|AB|=y214+y214+2=14×

［（y1+y2）2-2y1y2］+2=14［（4t）2+8］+2=4t2+4，∵kABkDE=-1，∴|DE|=4（-t）2+4.

∴S△GMN=18|AB