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新疆部分名校2025学年高二下学期期中联合考试数学试题(含答案)

一、选择题

选择题

(1)已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，若函数在区间$[0,1]$上的最大值为4，则函数在区间$[-1,0]$上的最小值为：

A.-4

B.0

C.1

D.2

(2)设集合$A=\{x|-2\leqx\leq3\}$，$B=\{x|x^2-5x+6=0\}$，则集合$A$与集合$B$的交集$A\capB$的元素个数是：

A.1

B.2

C.3

D.4

(3)函数$y=\sinx+\cosx$的一个周期为：

A.$\pi$

B.$2\pi$

C.$\frac{\pi}{2}$

D.$\frac{\pi}{3}$

(4)若向量$\mathbf{a}=(1,2,3)$，向量$\mathbf{b}=(2,-1,4)$，则向量$\mathbf{a}$与向量$\mathbf{b}$的数量积$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$的值为：

A.5

B.-5

C.3

D.-3

(5)已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=4n^2-3n$，则该数列的第10项$a_{10}$的值为：

A.35

B.37

C.39

D.41

(6)若不等式组$\begin{cases}2x+y\leq4\\x-3y\geq-3\end{cases}$的解集在平面直角坐标系中对应的区域是一个三角形，则该三角形的顶点坐标可能为：

A.$(0,0)$，$(2,0)$，$(0,1)$

B.$(0,0)$，$(2,0)$，$(1,1)$

C.$(0,0)$，$(1,0)$，$(0,1)$

D.$(0,0)$，$(1,0)$，$(2,1)$

(7)函数$y=\log_{\frac{1}{2}}x$的图像与直线$y=x$的交点个数是：

A.1

B.2

C.3

D.4

(8)已知复数$z=a+bi$（$a,b$为实数），若$|z-i|=|z+1|$，则实数$a$的取值范围是：

A.$a\geq1$

B.$a\leq1$

C.$a1$

D.$a1$

二、填空题

填空题

(1)已知函数$f(x)=2x^3-9x^2+12x-3$，若$f(x)$的零点为$x_1$和$x_2$，则$x_1+x_2$的值为______。

(2)在$\triangleABC$中，若$\angleA=\frac{\pi}{3}$，$\angleB=\frac{\pi}{4}$，且$AC=BC=1$，则$\cosC$的值为______。

(3)设数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n-2$，则该数列的前$n$项和$S_n$的表达式为______。

(4)若直线$y=kx+1$与圆$x^2+y^2=1$相切，则实数$k$的取值范围是______。

(5)已知向量$\mathbf{a}=(2,3)$，向量$\mathbf{b}=(1,-2)$，则向量$\mathbf{a}$与向量$\mathbf{b}$的夹角$\theta$的余弦值$\cos\theta$为______。

(6)设函数$f(x)=x^2-4x+3$，若函数$f(x)$的图像关于点$(2,1)$对称，则函数$f(x)$在$x=1$时的值为______。

(7)在$\triangleABC$中，若$AB=AC$，且$\angleA=\frac{\pi}{3}$，则$\sinB$的值为______。

(8)若复数$z=a+bi$（$a,b$为实数），且$|z|=1$，则复数$z$的实部$a$和虚部$b$满足的关系式是______。

(9)已知等比数列$\{a_n\}$的首项为2，公比为$\frac{1}{2}$，则该数列的第5项$a_5$的值为______。

(10)若不等式$|x-2|3$的解集为$A$，则$A$的长度为______。

解答题一：函数与导数

解答题一：函数与导数

(1)已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值。

(2)设函数$g(x)=\frac{2x}{x^2+1}$，求$g(x)$的表达式，并求出$g(x)$的零点。

(3)已知函数$h(x)=\ln(x+1)-\sqrt{x}$，求$h(x)$的导数$h(x)$，并讨论$h(x)$的单调性。

解答题一：

(1)首先，对函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$求导得到$f(x)=3x^2-12x+9$。然后，令$f(x)=0$，解得$x=1$或$x=3$。接下来，计算$f(0)=1$，$f(1)=5$，$f(3)=1$。比较这三个值，可知$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值为5，最小值为1。

(2)对函数$g(x)=\frac{2x}{x^