2025年中考数学几何模型归纳训练专题38最值模型之瓜豆模型（原理）曲线解读与提分精练（全国版） .pdf

专题38最值模型之瓜豆模型（原理）曲线

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚该

压轴点往往成为学生在中考中的一个坎致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型

的基本图形构建问题解决的一般思路是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原

理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析方便掌握。

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例题讲模型

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模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）1

习题练模型

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例题讲模型］

模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）

模型解读

“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型出自成语“种瓜得瓜种豆得豆”。这类动点问题中一个动点随另一

个动点的运动而运动我们把它们分别叫作从动点和主动点从动点和主动点的轨迹是一致的即所谓“种”

线得线“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋

转、全等和相似。

模型证明

模型1、运动轨迹为圆弧

模型L1.如图P是圆0上一个动点A为定点连接AP,Q^JAP中点.。点轨迹是？

分析：如图连接A0,取A0中点任意时刻均有^AAOP,QM：PO=AQ：AP=1：2。

则动点。是以肱为圆心，肱。为半径的圆。

模型L2.如图P是圆。上一个动点A为定点连接AP,作AQLAP且2=AP,当点尸在圆0上运动

时。点轨迹是?

分析：如图连结A0,作AM±AO,AO=AM；任意时刻均有AAPO^AAeM,SMQ=POo

则动点。是以M为圆心，为半径的圆。

模型L3.如图AAPQ是直角三角形ZB42=90o且AP*2当P在圆。运动时。点轨迹是？

分析：如图连结9,AMLAO,AO:AM=k:l；任意时刻均有^APO^AAQM,且相似比为血

则动点。是以肱为圆心，为半径的圆。

模型L4.为了便于区分动点P、Q,可称P为“主动点”。为“从动点”。

此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量是定值）；②主动点、从动

点到定点的距离之比是定量（AP：是定值）。

则动点。是以M为圆心，肱。为半径的圆。

别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。

（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）

如图若P为动点但则B、C、尸三点共圆则动点P是以A圆心，半径的圆或圆弧。

（2）定边对定角（或直角）模型

1）一条定边所对的角始终为直角则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

如图若P为动点,为定值ZAPB=90°,则动点P是以为直径的圆或圆弧。

2）一条定边所对的角始终为定角则定角顶点轨迹是圆弧.

如图若P为动点,为定值/APB为定值则动点P的轨迹为圆弧。

模型运用

例1.（2024.河南南阳•三模）如图点尸（3,4）,O尸半径为2,A（2.8,0）,8（5.6,0）,点M是0户上的动点,

D.3

例2.（2023黑龙江大庆•一模）如图在平面直角坐标系xQy中半径为2的。。与轴的正半轴交于点A,

3

点、B是。。上一动点点。为弦A8的中点直线y=~^3与x轴、y轴分别交于点D、E,则点。到直线庞

的最小距离为（）

例3.（2023春•湖北黄石•九年级校考阶段练习）如图四边形ABCD为正方形P是以边AQ为直径的

上一动点连接BP,以砰为边作等边三角形BPQ,连接OQ,若45=2,则线段OQ的最大值为.

例4.（2324九年级上•江苏南京•阶段练习）如图平面直角坐标系xQy中点A的坐标是（3,4）,点8是。A

上一点的半径为2,将绕。点顺时针方向旋转90。得OC,连接AC,则线段AC的最小值为