第09讲 解三角形中的最值及范围问题（学生版）.docx

第09讲解三角形中的最值及范围问题

（15类核心考点精讲精练）

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等偏上，分值为13-15分

【备考策略】1会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题

2会利用正余弦定理及面积公式解决三角形的综合问题

【命题预测】本节内容一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。

知识讲解

解三角形最值及范围问题中常用到的关联知识点

基本不等式

，当且仅当时取等号，其中叫做正数，的算术平均数，

叫做正数，的几何平均数，通常表达为：（积定和最小），应用条件：“一正，二定，三相等”

基本不等式的推论

重要不等式

（和定积最大）

当且仅当时取等号

当且仅当时取等号

辅助角公式及三角函数值域

形如，，其中，

对于，类函数，叫做振幅，决定函数的值域，值域为，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围

三角形中的边角关系

构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边

在三角形中，大边对大角，小边对小角

在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系:

即

注意：在锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。

事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。

考点一、面积类最值及范围问题

1．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．

(1)求的值；

(2)若，求面积的最大值．

2．（2024·河北·模拟预测）在锐角中，，，分别是角的对边，.

(1)求；

(2)若，求的面积取值范围.

3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面内，四边形满足，点在的两侧，，，为正三角形，设.

??

(1)当时，求；

(2)当变化时，求四边形面积的最大值.

4．（23-24高三上·江西抚州·阶段练习）已知在平面四边形中，，.

(1)求的值；

(2)记与的面积分别为和，求的最大值.

1．（2024·广东茂名·一模）在中，内角的对边分别是，且.

(1)求的大小；

(2)若是边的中点，且，求面积的最大值.

2．（2024·江苏·模拟预测）在中，点在边上，且满足.

(1)求证：；

(2)若，，求的面积的最小值.

3．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形中，.

(1)若四点共圆，求；

(2)求四边形面积的最大值.

4．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求角的大小；

(2)若，角与角的内角平分线相交于点D，求面积的最大值.

5．（23-24高三上·江西·期末）如图，在△ABC中，AB=BC=2，D为△ABC外一点，AD=2CD=4，记∠BAD=α，∠BCD=β.

(1)求的值；

(2)若△ABD的面积为，△BCD的面积为，求的最大值.

考点二、周长类最值及范围问题

1．（2024·安徽淮北·二模）记的内角的对边分别为，已知

(1)试判断的形状；

(2)若，求周长的最大值.

2．（2024·四川南充·模拟预测）在中，.

(1)求；

(2)若，求周长的最大值.

3．（2024·湖南常德·一模）已知的内角的对边分别是，且.

(1)判断的形状；

(2)若的外接圆半径为，求周长的最大值.

4．（2024·山西·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．

(1)试判断的形状；

(2)若的外接圆半径为2，求周长的最大值．

1．（2024高三下·全国·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

(1)求A；

(2)设，求周长的最大值．

2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知向量满足，，且．

(1)求角；

(2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围．

3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知在中，D为BC边的中点，且．

(1)若的面积为，，求；

(2)若，求的周长的最大值．

4．（2024·贵州贵阳·三模）已知的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足.请回答下列问题:

(1)证明:为等腰三角形;

(2)若的外接圆直径为1，试求周长的取值范围.

5．（2024·云南曲靖·二模）在中，角的对边分别为，且.

(1)求角的取值范围；

(2)已知内切圆的半径等于，求周长的取值范围.

考点三、边长类最值及范围问题

1．（2024·陕西西安·一模）已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，．

(1)求的值；

(2)若△ABC的面积为，求c的最小值．

2．（2024·贵州遵义·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求A；

(2)若为锐角三角形，，求b的取值范围．

3．（2024·山西