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吉林省四平市2025学年高二下学期期中质量监测数学试题含答案

一、选择题

(1)若函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$在区间$[-1,1]$上单调递增，则实数$a$的取值范围是：

A.$a\geq0$

B.$a0$

C.$a\leq0$

D.$a0$

(2)已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3^n+(-1)^n$，则数列的前$n$项和$S_n$可以表示为：

A.$S_n=2^n+n$

B.$S_n=2^n-n$

C.$S_n=2^n+n\cdot(-1)^n$

D.$S_n=2^n-n\cdot(-1)^n$

(3)在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，若$\cosA=\frac{3}{5}$，则$\sinB$的值是：

A.$\frac{4}{5}$

B.$\frac{3}{5}$

C.$\frac{12}{25}$

D.$\frac{16}{25}$

(4)设函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，则函数的图像关于点$(1,0)$对称的充分必要条件是：

A.$f(x)=f(2-x)$

B.$f(x)=f(2+x)$

C.$f(x)=f(-x)$

D.$f(x)=f(-x+2)$

(5)若平面直角坐标系中，点$P(1,2)$关于直线$y=x$的对称点为$P(x_0,y_0)$，则$x_0+y_0$的值是：

A.3

B.5

C.1

D.2

(6)设$A$，$B$，$C$是圆$O$上的三点，$OA=OB=OC$，$\angleAOB=60^\circ$，则$\angleBOC$的度数是：

A.$60^\circ$

B.$120^\circ$

C.$30^\circ$

D.$90^\circ$

(7)已知函数$f(x)=\ln(x+1)-\sqrt{x}$，则函数的定义域是：

A.$(-\infty,0)$

B.$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

C.$[0,+\infty)$

D.$(-\infty,0]\cup[0,+\infty)$

(8)若数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_n=2a_{n-1}-1$，则数列的通项公式是：

A.$a_n=2^n-1$

B.$a_n=2^{n-1}-1$

C.$a_n=2^n+1$

D.$a_n=2^{n-1}+1$

(9)在平面直角坐标系中，点$P(2,3)$到直线$x+y=5$的距离是：

A.$1$

B.$\sqrt{2}$

C.$2$

D.$\sqrt{5}$

(10)若复数$z=a+bi$满足$|z-2i|=|z+2i|$，则实数$a$和$b$的关系是：

A.$a=b$

B.$a=-b$

C.$a+b=0$

D.$a-b=0$

二、填空题

(1)若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2+2n$，则数列的第5项$a_5$的值为______。

(2)在$\triangleABC$中，若$\cosA=\frac{1}{2}$，$\cosB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\sinC$的值为______。

(3)函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$的图像与$x$轴的交点个数为______。

(4)若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则复数$z$对应的点在复平面上的轨迹方程为______。

(5)在平面直角坐标系中，点$P(1,1)$关于直线$y=x$的对称点为$P(x_0,y_0)$，则$x_0+y_0$的值为______。

(6)已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=2$，$a_n=a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-1}}$，则数列的第$n$项$a_n$可以表示为______。

(7)若函数$f(x)=\ln(x+1)-\sqrt{x}$在区间$[0,2]$上单调递增，则实数$x$的取值范围是______。

(8)在$\triangleABC$中，若$a^2+b^2=c^2$，则$\triangleABC$是______三角形。

(9)若复数$z$的模为$|z|=1$，则复数$z$在复平面上的轨迹方程为______。

(10)函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$的简化形式为______。

三、解答题

(1)已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求函数的极值点及对应的极值。

解：首先求函数的导数$f(x)=3x^2-12x+9$，令$f(x)=0$，得$x_1=1$，$x_2=3$。当$x1$或$x3$时，$f(x)0$，函数单调递增；当$1x3$时，$f(x)0$，函数单调递减。因此，$x=1$是函数的极大值点，$x=3$是函数的极小值点。计算得$f(1)=4$，$f(3)=0$。所以，函数