3-5-定积分的应用-PPT课件.pptxVIP

3-5定积分的应用

abxyo直观理解：

abxyo

应用方向：平面图形的面积；体积；侧面积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．将y作为自变量给出面积公式ddycxx=?(y)Ay

定积分的应用一、平面图形的面积面积微元:(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)?0),直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成的平面图形的面积yo面积

若f(x)有正有负,则曲边梯形面积为xyoab

xyoab面积元素:(2)由连续曲线y=f(x),y=g(x),直线x=a,x=b(ab)所围成的平面图形的面积:

cxyoab一般地，

dcxyo及y轴围成的平面图形的面积为xyodc一般地，

及y轴围成的平面图形的面积为：dcxyodcxyo一般地，

解两曲线的交点面积元素选为积分变量

解两曲线的交点选为积分变量

于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．

解两曲线的交点选为积分变量

如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程

解2:椭圆的参数方程

面积元素曲边扇形的面积极坐标系情形

解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积

解利用对称性知

如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积平行截面面积为已知的立体的体积

解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台旋转体的体积

xyo旋转体的体积为

由图形aABb绕x轴旋转一周ABaby其平行截面面积∶·

解直线方程为

oxyab套筒法:体积微元:

例解xy利用圆面积

ba

解例圆锥体积

解(1)例y2xao

解体积元素为

平面曲线弧长的概念

弧长元素弧长直角坐标情形

解所求弧长为

解

曲线弧为弧长参数方程情形

解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长

证

根据椭圆的对称性知故原结论成立.

曲线弧为弧长极坐标情形

解

解

旋转体的侧面积xyo

曲线弧为参数方程情形极坐标情形曲线弧为