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江苏省涟水一中选修1-1教学案3.1.3导数(瞬时速度和瞬时加速度)

一、导数概念回顾

(1)导数是微积分学中的一个基本概念，它描述了函数在某一点处的变化率。在数学史上，导数的发现经历了多次演变，最早可以追溯到17世纪的牛顿和莱布尼茨。导数的几何意义可以理解为曲线在某一点处的切线斜率，即函数值随自变量变化的快慢程度。以函数f(x)为例，导数f(x)在某一点x=a处的值，即为函数在该点的瞬时变化率。例如，考虑函数f(x)=x^2，其导数f(x)=2x，这意味着在任意点x处的导数值就是该点切线的斜率。

(2)导数的计算方法有多种，其中最基本的是导数的定义式。对于函数f(x)，其导数的定义式为：f(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。这个极限表达式说明了导数是函数增量与自变量增量比值的极限。在实际应用中，我们可以通过计算函数在某点的导数来预测函数在该点的局部行为。例如，对于函数f(x)=e^x，其导数f(x)=e^x，这表明指数函数在任何点的导数都是它自身，这一性质使得指数函数在各个领域都有广泛的应用。

(3)导数在物理学中有着重要的应用，其中最著名的例子就是瞬时速度和瞬时加速度。瞬时速度是描述物体在某一瞬间的速度，它是位移关于时间的导数。例如，一个物体在t=0时刻的位置是x=0，速度是v=5m/s，那么在t=1秒时的位置可以通过计算位移关于时间的导数得到。同样，瞬时加速度是描述物体速度变化的快慢程度，它是速度关于时间的导数。在物理学中，加速度的计算对于理解物体运动规律至关重要。例如，在自由落体运动中，物体的加速度是恒定的，即g=9.8m/s^2，这意味着物体每秒速度增加9.8m/s。通过计算瞬时速度和瞬时加速度，我们可以更准确地预测物体的运动轨迹。

二、瞬时速度和瞬时加速度的定义及计算

(1)瞬时速度是描述物体在某一特定时刻或位置的速度，它是物体在极短时间间隔内的位移与时间的比值。在数学上，瞬时速度可以通过导数来计算。以一个物体在直线运动中的位移函数s(t)为例，瞬时速度v(t)在时刻t的值可以通过计算位移函数的导数s(t)得到。例如，假设一辆汽车以恒定加速度a行驶，其位移s(t)=1/2*a*t^2，那么汽车的瞬时速度v(t)=s(t)=a*t。

(2)瞬时加速度则是描述物体速度变化的快慢程度，即速度随时间变化的率。类似于瞬时速度，瞬时加速度也可以通过导数来计算。如果物体的速度函数v(t)已知，那么瞬时加速度a(t)可以通过计算速度函数的导数v(t)得到。例如，在自由落体运动中，物体的速度v(t)=g*t，其中g是重力加速度，那么瞬时加速度a(t)=v(t)=g，表明加速度是恒定的。

(3)在实际应用中，计算瞬时速度和瞬时加速度通常涉及到物理实验和数学建模。例如，在物理学实验中，通过测量物体在不同时间点的位置，可以绘制出物体的位移-时间图。通过对该图进行微分处理，可以得到物体的瞬时速度。同样，通过对速度-时间图进行微分，可以得到物体的瞬时加速度。在工程领域，这些计算对于优化机械设计和预测系统性能至关重要。例如，在汽车设计中，工程师需要计算在不同驾驶条件下的瞬时速度和瞬时加速度，以确保车辆的安全性和性能。通过精确计算这些参数，工程师可以设计出更高效、更安全的交通工具。

三、实例分析与应用

(1)在经济学中，导数被用来分析市场供需关系。假设某商品的需求函数为Q(p)=100-2p，其中Q表示需求量，p表示价格。通过求导得到需求量对价格的瞬时变化率，即需求弹性，DQ/dP=-2。这表明价格每增加1单位，需求量将减少2单位，这对于企业制定价格策略至关重要。

(2)在工程学中，导数用于分析结构在受力时的变形情况。例如，一根梁在受到均匀分布载荷时，其弯曲程度可以通过梁的弯曲方程来描述。通过计算弯曲方程的导数，工程师可以确定梁在特定载荷下的最大弯曲角度，从而确保结构的安全性。

(3)在物理学中，导数用于分析物体在运动过程中的速度和加速度。以抛体运动为例，物体的水平速度v_x和垂直速度v_y可以通过其位移函数分别求导得到。通过这些导数，可以计算出物体在任意时刻的速度和加速度，这对于预测物体的运动轨迹和落地时间非常有用。