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安师大离散数学试卷

一、选择题

1.下列哪个集合是空集？

A.{x|x∈N且x5}

B.{x|x∈Z且x=2}

C.{x|x∈R且x^2=0}

D.{x|x∈Q且x=√2}

2.下列哪个命题是重言式？

A.(p∨?p)∧(q∧?q)

B.(p∧q)∨(?p∧?q)

C.(p∨q)∧(?p∨?q)

D.(p∨q)∧(p∧q)

3.在图论中，无向连通图的最小生成树有多少条边？

A.1

B.2

C.n-1

D.n

4.下列哪个命题是命题公式？

A.2x+3y=5

B.xy

C.(x=y)∧(y≠x)

D.x+y+z=0

5.下列哪个命题是命题公式的否定？

A.(p∨q)∧(?p∧?q)

B.(p∧q)∨(?p∧?q)

C.(p∨q)∧(p∧q)

D.(p∨q)∧(?p∧?q)

6.在逻辑代数中，下列哪个公式是等价的？

A.AB+AB

B.A+B

C.AB+AB

D.A+B

7.下列哪个命题是命题公式的蕴涵式？

A.(p∨q)∧(?p∧?q)

B.(p∧q)∨(?p∧?q)

C.(p∨q)∧(p∧q)

D.(p∨q)∧(?p∧?q)

8.下列哪个命题是命题公式的析取式？

A.(p∨q)∧(?p∧?q)

B.(p∧q)∨(?p∧?q)

C.(p∨q)∧(p∧q)

D.(p∨q)∧(?p∧?q)

9.在集合论中，下列哪个命题是真命题？

A.A∩B=B∩A

B.A∪B=B∪A

C.A∩(A∪B)=A

D.A∪(A∩B)=A

10.在图论中，下列哪个命题是真命题？

A.如果一个有向图是无向图的补图，那么这个有向图是无向图的逆图。

B.如果一个有向图是无向图的逆图，那么这个有向图是无向图的补图。

C.如果一个有向图是无向图的补图，那么这个有向图是无向图的补图的补图。

D.如果一个有向图是无向图的逆图，那么这个有向图是无向图的补图的补图。

二、判断题

1.在集合论中，任意两个集合的笛卡尔积都是有限的。（）

2.在图论中，一个有向图如果是强连通的，那么它必定是单连通的。（）

3.在逻辑代数中，德摩根律适用于所有类型的逻辑运算。（）

4.在集合论中，空集是任何集合的子集，但不是任何集合的父集。（）

5.在图论中，一个图如果是连通的，那么它至少有一个顶点度数大于等于2。（）

三、填空题

1.在图论中，一个图的顶点度数之和等于图的所有边的______。

2.在逻辑代数中，表示“非”运算的符号是______。

3.在集合论中，集合A和集合B的笛卡尔积的元素个数是______。

4.在图论中，如果一个图的所有顶点都只有一个邻居，那么这个图被称为______。

5.在逻辑代数中，根据______定律，A+AB=A。

四、简答题

1.简述集合论中基数的概念及其与集合大小之间的关系。

2.解释图论中“路径”和“回路”的定义，并说明它们之间的区别。

3.阐述逻辑代数中“分配律”和“结合律”的具体含义及其在逻辑运算中的作用。

4.描述如何通过图论中的“最小生成树”算法来找到无向连通图的最小生成树。

5.在逻辑代数中，说明如何通过“吸收律”简化一个逻辑表达式，并给出一个具体的例子。

五、计算题

1.计算以下逻辑表达式的真值表：

(p∧q)∨(?p∧?q)

2.设集合A={1,2,3,4}，B={2,4,5,6}，C={1,3,5,7}，计算以下集合的并集、交集和差集：

A∪(B∩C)

A∩(B∪C)

A-(B∪C)

3.在一个有5个顶点的无向图中，如果每个顶点的度数都是3，请画出这个图，并计算它的边数。

4.设有向图G的顶点集合V={A,B,C,D,E}，边集合E={(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),(E,A)}，计算图G的邻接矩阵。

5.使用布尔代数中的公式化简以下表达式：

(A+B)(A+B)+(A+B)+(A+B)

六、案例分析题

1.案例背景：某公司计划在其新开发的产品中使用一个图论算法来优化其配送路径。公司目前有一个配送网络，包含多个配送中心和客户，公司希望通过算法找出从配送中心到每个客户的最短路径，以减少配送时间和成本。

案例分析：

（1）根据案例描述，选择合适的图论算法（如Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法）来解决问题，并简述其原理。

（2）分析在选择算法时需要考虑的因素，如图的性质、算法的时间复杂度和空间复杂度等。

（3）假设公司网络中存在多条等价