考点53直线与圆锥曲线的位置关系（2种核心题型 基础保分练 综合提升练 拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲练 易错重难点专项突破（新高考版）原卷版.docx

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考点53直线与圆锥曲线的位置关系

（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

【考试提醒】

1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.

2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.

3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题

【知识点】

1．直线与圆锥曲线的位置判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交?Δ0；直线与圆锥曲线相切?Δ＝0；直线与圆锥曲线相离?Δ0.

特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．

②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．

2．弦长公式

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，

则|AB|＝eq\r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)

＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|

＝eq\r(1＋k2)eq\r(?x1＋x2?2－4x1x2)

或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|

＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(?y1＋y2?2－4y1y2)

【核心题型】

题型一直线与圆锥曲线的位置关系

(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．

(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．

【例题1】（2023·重庆·二模）已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（????）

A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条

【变式1】（2022·北京房山·一模）已知直线l被圆C：所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（????）

A． B．

C． D．

【变式2】（2024·上海浦东新·三模）已知点A、B位于抛物线上，，点M为线段的中点，记点M到y轴的距离为d.若d的最小值为7，则当d取该最小值时，直线的斜率为.

【变式3】（2022·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C的焦点坐标为，且过点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知直线与椭圆C交于A、B两点，若弦中点在直线上，求直线l的方程．

题型二弦长问题

(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求．

(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.

(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率．

【例题2】（2022·河南郑州·三模）斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（????）

A．2 B． C． D．

【变式1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，圆.若过的直线分别交的左、右两支于A，B两点，且圆与相切，的离心率为到的渐近线的距离为，则（????）

A． B． C． D．

【变式2】（2023·四川绵阳·三模）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为

【变式3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知动点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．

(1)过点且斜率为的直线与交于两点，求的值；

(2)已知是上不同的三点，直线与以坐标原点为圆心的单位圆相切，切点分别为，若直线的倾斜角为，求点的坐标．

题型三中点弦问题

(1)解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路

①根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．

②点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量．

(2)点差法常用结论

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上的两点，AB的中点为C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.

若E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)，

则k＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；

若E的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)，

则k＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；

若E的方程为y2＝2px(p0)，则k＝eq\f(p,y0).

【例题3】（2024·甘肃张掖·三模）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（????）

A． B． C． D．

【变式1】（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（????）

A． B．

C． D．

【变式2】