考点54圆锥曲线中求值与证明问题（2种核心题型 基础保分练 综合提升练 拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲练 易错重难点专项突破（新高考版）原卷版.docx

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考点54圆锥曲线中求值与证明问题

（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

【核心题型】

题型一求值问题

求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解

【例题1】（2024·陕西商洛·一模）已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（???）

A． B． C． D．

【变式1】（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中.则直线MN必过一定点的坐标为（????）

??

A．1,0 B．

C． D．0,1

【变式2】（2024·四川德阳·模拟预测）过点作直线交椭圆于，两点，其中在线段上，则的取值范围为.

【变式3】（2024·贵州黔南·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆经过点.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线的倾斜角为90°，求的值.

题型二证明问题

圆锥曲线证明问题的类型及求解策略

(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．

(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．

【例题2】（2024·河南郑州·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点．

(1)求抛物线的方程；

(2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；

②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为．

【变式1】（2024·福建福州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求的方程；

(2)直线交于两点.

（i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值；

（ii）若上存在点使得在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程.

【变式2】（2021·广西柳州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，的面积为，点为椭圆的下顶点，.

(1)求椭圆的标准方程.

(2)椭圆上有两点，（异于椭圆顶点且与轴不垂直），当的面积最大时，证明：直线与的斜率之积为定值.

【变式3】（2024·四川巴中·模拟预测）已知动圆经过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；

(2)设过点且斜率为正的直线交曲线于两点（点在点的上方），的中点为，

①过作直线的垂线，垂足分别为，试证明：；

②设线段的垂直平分线交轴于点，若的面积为4，求直线的方程．

【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线与椭圆相切，则的值为（???）

A． B． C． D．

2．（2024·江苏·三模）已知过抛物线的焦点的直线与相交于两点，轴上一点满足，则（????）

A．1 B．2 C． D．

3．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（）

A． B．1 C．2 D．4

二、多选题

4．（2024·贵州黔南·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点.若抛物线在点，处的切线的斜率分别为，，且抛物线的准线与轴交于点，则下列说法正确的是（????）

A．的最小值为4

B．若，则

C．若，则直线的方程为

D．直线的倾斜角的最小值为

5．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知双曲线，对于点，若上存在两个点、，使得为线段的中点，则称为的一个“”点，下列各点中，是的“”点的为（???）

A． B． C． D．

三、填空题

6．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点，若的面积为，则.

7．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为.

四、解答题

8．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点，的焦距为．

(1)分别求和的方程；

(2)如图，过点的直线（斜率大于0）与双曲线和的左、右两支依次相交于点、、、，证明．

9．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A?2,0，两点．

(1)求C的方程；

(2)设P，M，N三点在C的右支上，，，证明：

（ⅰ）存在常数，满足；

（ⅱ）的面积为定值．

10．（2024·广东深圳·模